Cho ΔABC nhọn (BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác góc ABC tại điểm thứ hai M. Gọi O là trực tâm tam giác BCM. CMR: điểm A, B, C...

Để chứng minh rằng các điểm A, B, C, P cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác ABPC là tứ giác nội tiếp. Trước tiên, ta cần nhắc lại một số tính chất quan trọng: 1. Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác. 2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. 3. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ. Bây giờ, ta sẽ tiến hành chứng minh: - Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác \( \Delta ABC \). Do đó, \( H \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác \( \Delta ABC \). - Đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Delta BHC \) cắt tia phân giác của góc \( \angle ABC \) tại điểm thứ hai \( M \). - Gọi \( O \) là trực tâm của tam giác \( \Delta BCM \). Do đó, \( O \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác \( \Delta BCM \). - Để chứng minh rằng \( A, B, C, P \) cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác \( ABPC \) là tứ giác nội tiếp. - Xét tam giác \( \Delta BHC \) và tam giác \( \Delta BCM \), ta có: - \( M \) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Delta BHC \), do đó \( \angle BMC = \angle BHC \). - Do \( O \) là trực tâm của tam giác \( \Delta BCM \), nên \( \angle BOC = 180^\circ - \angle BMC \). - Vì \( M \) nằm trên tia phân giác của góc \( \angle ABC \), nên \( \angle ABM = \angle CBM \). - Từ đó, ta có: - \( \angle ABM + \angle CBM = \angle ABC \). - Do đó, tổng các góc \( \angle ABM + \angle CBM = 180^\circ - \angle BMC \). - Vì \( \angle BMC = \angle BHC \), nên tổng các góc \( \angle ABM + \angle CBM = 180^\circ - \angle BHC \). - Từ đó, ta suy ra rằng tứ giác \( ABPC \) là tứ giác nội tiếp. Vậy, các điểm \( A, B, C, P \) cùng thuộc một đường tròn.