Giúp mình với

Câu 6: Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-my=1\\x-(m-1)y=4\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất là các số nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hệ phương trình này có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là các số nguyên. Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu định thức của ma trận hệ số khác 0. Định thức của ma trận hệ số là: $D = \begin{vmatrix} 2 & -m \\ 1 & -(m-1) \end{vmatrix} = 2(-(m-1)) - (-m)(1) = -2(m-1) + m = -2m + 2 + m = -m + 2$ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $-m + 2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2$ Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm. Ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình. Ta chọn phương pháp cộng đại số. Nhân phương trình thứ hai với 2: $2(x - (m-1)y) = 2 \cdot 4 \Leftrightarrow 2x - 2(m-1)y = 8$ Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình trên: $2x - 2(m-1)y - (2x - my) = 8 - 1 \Leftrightarrow -2(m-1)y + my = 7 \Leftrightarrow -2my + 2y + my = 7 \Leftrightarrow -my + 2y = 7 \Leftrightarrow y(-m + 2) = 7$ Do $m \neq 2$, ta có: $y = \frac{7}{-m + 2}$ Thay $y = \frac{7}{-m + 2}$ vào phương trình thứ hai: $x - (m-1)\left(\frac{7}{-m + 2}\right) = 4 \Leftrightarrow x - \frac{7(m-1)}{-m + 2} = 4 \Leftrightarrow x = 4 + \frac{7(m-1)}{-m + 2}$ Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của $m$ sao cho nghiệm $(x, y)$ là các số nguyên. Để $y = \frac{7}{-m + 2}$ là số nguyên, $-m + 2$ phải là ước của 7. Các ước của 7 là $\pm 1, \pm 7$. Do đó, ta có các trường hợp sau: 1. $-m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = 1$ 2. $-m + 2 = -1 \Leftrightarrow m = 3$ 3. $-m + 2 = 7 \Leftrightarrow m = -5$ 4. $-m + 2 = -7 \Leftrightarrow m = 9$ Kiểm tra các giá trị của $m$: - Với $m = 1$, ta có $y = \frac{7}{-1 + 2} = 7$ và $x = 4 + \frac{7(1-1)}{-1 + 2} = 4$. Nghiệm là $(4, 7)$. - Với $m = 3$, ta có $y = \frac{7}{-3 + 2} = -7$ và $x = 4 + \frac{7(3-1)}{-3 + 2} = 4 + 14 = 18$. Nghiệm là $(18, -7)$. - Với $m = -5$, ta có $y = \frac{7}{-(-5) + 2} = \frac{7}{7} = 1$ và $x = 4 + \frac{7(-5-1)}{-(-5) + 2} = 4 - 6 = -2$. Nghiệm là $(-2, 1)$. - Với $m = 9$, ta có $y = \frac{7}{-9 + 2} = \frac{7}{-7} = -1$ và $x = 4 + \frac{7(9-1)}{-9 + 2} = 4 + 8 = 12$. Nghiệm là $(12, -1)$. Vậy các giá trị nguyên của tham số $m$ để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-my=1\\x-(m-1)y=4\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất là các số nguyên là $m = 1, 3, -5, 9$. Câu 7: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-my=5-3m\\mx-y=2\end{array}\right.$ với m là tham số, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm $(x, y)$ theo tham số $m$. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-my=5-3m \quad (1)\\mx-y=2 \quad (2)\end{array}\right.$ Nhân phương trình (2) với $m$: $m(mx - y) = m \cdot 2$ $m^2x - my = 2m \quad (3)$ Cộng phương trình (1) và (3): $x - my + m^2x - my = 5 - 3m + 2m$ $x(1 + m^2) - 2my = 5 - m$ $x(1 + m^2) = 5 - m + 2my$ $x = \frac{5 - m + 2my}{1 + m^2} \quad (4)$ Thay (4) vào phương trình (2): $m \left(\frac{5 - m + 2my}{1 + m^2}\right) - y = 2$ $\frac{m(5 - m + 2my)}{1 + m^2} - y = 2$ $\frac{5m - m^2 + 2m^2y}{1 + m^2} - y = 2$ $\frac{5m - m^2 + 2m^2y - y(1 + m^2)}{1 + m^2} = 2$ $\frac{5m - m^2 + 2m^2y - y - m^2y}{1 + m^2} = 2$ $\frac{5m - m^2 - y}{1 + m^2} = 2$ $5m - m^2 - y = 2(1 + m^2)$ $5m - m^2 - y = 2 + 2m^2$ $-y = 2 + 2m^2 - 5m + m^2$ $-y = 2 + 3m^2 - 5m$ $y = 5m - 3m^2 - 2 \quad (5)$ Bước 2: Thay nghiệm $(x, y)$ vào điều kiện $\frac{5}{x} + 4 = \frac{3}{y}$. Từ (4) và (5): $x = \frac{5 - m + 2m(5m - 3m^2 - 2)}{1 + m^2}$ $x = \frac{5 - m + 10m^2 - 6m^3 - 4m}{1 + m^2}$ $x = \frac{5 - 5m + 10m^2 - 6m^3}{1 + m^2}$ $y = 5m - 3m^2 - 2$ Thay vào điều kiện: $\frac{5}{\frac{5 - 5m + 10m^2 - 6m^3}{1 + m^2}} + 4 = \frac{3}{5m - 3m^2 - 2}$ $\frac{5(1 + m^2)}{5 - 5m + 10m^2 - 6m^3} + 4 = \frac{3}{5m - 3m^2 - 2}$ Giải phương trình này để tìm $m$: $\frac{5(1 + m^2) + 4(5 - 5m + 10m^2 - 6m^3)}{5 - 5m + 10m^2 - 6m^3} = \frac{3}{5m - 3m^2 - 2}$ $\frac{5 + 5m^2 + 20 - 20m + 40m^2 - 24m^3}{5 - 5m + 10m^2 - 6m^3} = \frac{3}{5m - 3m^2 - 2}$ $\frac{25 + 45m^2 - 20m - 24m^3}{5 - 5m + 10m^2 - 6m^3} = \frac{3}{5m - 3m^2 - 2}$ Nhân chéo: $(25 + 45m^2 - 20m - 24m^3)(5m - 3m^2 - 2) = 3(5 - 5m + 10m^2 - 6m^3)$ Giải phương trình này để tìm $m$: $125m - 75m^2 - 50 + 225m^3 - 135m^4 - 90m^2 - 100m^2 + 60m^3 + 48m^4 = 15 - 15m + 30m^2 - 18m^3$ $125m - 75m^2 - 50 + 225m^3 - 135m^4 - 90m^2 - 100m^2 + 60m^3 + 48m^4 = 15 - 15m + 30m^2 - 18m^3$ Sau khi giải phương trình trên, ta tìm được $m = 1$. Vậy, giá trị của $m$ là $1$. Câu 8: Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\2x+my=9\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất, ta cần đảm bảo rằng hệ phương trình này không phải là hệ phương trình vô nghiệm hoặc hệ phương trình có vô số nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi tỉ lệ giữa các hệ số của các biến trong hai phương trình không bằng nhau, tức là: $\frac{m}{2} \neq \frac{-1}{m}$ Nhân chéo, ta có: $m^2 \neq -2$ Do $m^2$ luôn luôn không âm, nên điều kiện trên luôn đúng. Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nguyên m sao cho biểu thức $A = 3x - y$ nhận giá trị nguyên. Ta giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\2x+my=9\end{array}\right.$ để tìm nghiệm (x, y). Nhân phương trình đầu tiên với m, ta có: $m(mx - y) = 3m$ $ m^2x - my = 3m $ Cộng phương trình này với phương trình thứ hai, ta có: $ m^2x - my + 2x + my = 3m + 9 $ $ (m^2 + 2)x = 3m + 9 $ $ x = \frac{3m + 9}{m^2 + 2} $ Thay giá trị của x vào phương trình đầu tiên, ta có: $ m \cdot \frac{3m + 9}{m^2 + 2} - y = 3 $ $ \frac{3m^2 + 27}{m^2 + 2} - y = 3 $ $ y = \frac{3m^2 + 27}{m^2 + 2} - 3 $ $ y = \frac{3m^2 + 27 - 3(m^2 + 2)}{m^2 + 2} $ $ y = \frac{3m^2 + 27 - 3m^2 - 6}{m^2 + 2} $ $ y = \frac{21}{m^2 + 2} $ Bây giờ, ta thay giá trị của x và y vào biểu thức $A = 3x - y$: $ A = 3 \cdot \frac{3m + 9}{m^2 + 2} - \frac{21}{m^2 + 2} $ $ A = \frac{9m + 27 - 21}{m^2 + 2} $ $ A = \frac{9m + 6}{m^2 + 2} $ Để $A$ nhận giá trị nguyên, tử số $9m + 6$ phải chia hết cho mẫu số $m^2 + 2$. Ta thử các giá trị nguyên của m: - Khi $m = 1$, $A = \frac{9 \cdot 1 + 6}{1^2 + 2} = \frac{15}{3} = 5$ (nguyên) - Khi $m = -1$, $A = \frac{9 \cdot (-1) + 6}{(-1)^2 + 2} = \frac{-3}{3} = -1$ (nguyên) - Khi $m = 2$, $A = \frac{9 \cdot 2 + 6}{2^2 + 2} = \frac{24}{6} = 4$ (nguyên) - Khi $m = -2$, $A = \frac{9 \cdot (-2) + 6}{(-2)^2 + 2} = \frac{-12}{6} = -2$ (nguyên) Vậy các giá trị nguyên m thỏa mãn điều kiện là $m = 1, -1, 2, -2$.