Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = AH. Chứng minh rằng tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCA.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh tam giác $ \triangle ABD $ đồng dạng với tam giác $ \triangle HCA $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác vuông $ \triangle ABC $:
   - Tam giác $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, nên $ \angle BAC = 90^\circ $.

2. Xét đường cao $ AH $:
   - $ AH $ là đường cao từ $ A $ xuống cạnh $ BC $, do đó $ \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ $.

3. Xét tam giác $ \triangle ABD $ và $ \triangle HCA $:
   - Ta có $ BD = AH $ (theo giả thiết).
   - Xét góc $ \angle ABD $ và góc $ \angle HCA $:
     - $ \angle ABD = \angle HCA $ vì cả hai góc này đều là góc phụ của góc $ \angle ABC $ và $ \angle ACB $ trong tam giác vuông $ \triangle ABC $.

4. Chứng minh đồng dạng:
   - Trong tam giác $ \triangle ABD $ và $ \triangle HCA $, ta có:
     - $ \angle ABD = \angle HCA $ (như đã chứng minh ở trên).
     - $ \angle ADB = \angle HCA $ vì cả hai góc này đều là góc vuông.
   - Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có $ \triangle ABD \sim \triangle HCA $.

Vậy, tam giác $ \triangle ABD $ đồng dạng với tam giác $ \triangle HCA $.