Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lấy M là điểm trên DH sao cho MD = DH. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADHE là hình thoi. b) Tứ giác...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán. a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình thoi: - Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên AD = AE. - H là chân đường cao từ A xuống BC, do đó AH vuông góc với BC. - Vì tam giác ABC cân tại A, nên AH cũng là đường trung tuyến, do đó H là trung điểm của BC. - Do đó, DH = HE (vì D và E là trung điểm của AB và AC, và H là trung điểm của BC). - Từ đó, ta có AD = AE và DH = HE. - Hơn nữa, AH là đường cao, nên AH vuông góc với DE. - Vậy tứ giác ADHE có hai đường chéo vuông góc và các cạnh đối bằng nhau, do đó ADHE là hình thoi. b) Chứng minh tứ giác AHBM là hình chữ nhật: - Ta đã biết AH vuông góc với BC, do đó AH vuông góc với BM (vì M nằm trên DH và DH // BC). - Vì MD = DH, nên M là điểm đối xứng của D qua H, do đó HM = HD. - Từ đó, ta có AM = AB (vì D là trung điểm của AB và M đối xứng với D qua H). - Do đó, tứ giác AHBM có hai góc vuông tại A và H, và AM = AB, nên AHBM là hình chữ nhật. c) Chứng minh tứ giác ACHM là hình bình hành: - Ta đã biết AH vuông góc với BC, và M nằm trên DH, do đó HM // AC. - Vì M là điểm đối xứng của D qua H, nên HM = HD. - Do đó, AM = AC (vì D là trung điểm của AB và M đối xứng với D qua H). - Từ đó, ta có AC // HM và AC = HM, nên tứ giác ACHM là hình bình hành. d) Chứng minh ba đường thẳng MC, DE, AH đồng quy: - Ta đã biết D và E là trung điểm của AB và AC, do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC, nên DE // BC. - Vì M nằm trên DH và MD = DH, nên M là điểm đối xứng của D qua H, do đó MC là đường trung bình của tam giác AHC. - Do đó, MC cũng // DE. - Vì AH là đường cao từ A xuống BC, nên AH vuông góc với BC. - Từ đó, ba đường thẳng MC, DE, AH đồng quy tại điểm H, vì H là trung điểm của BC và là giao điểm của các đường trung bình và đường cao. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.