Cho $x, y \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $x^2+x=2y^2+y$. Chứng minh $2x+2y+1$ là số chính phương.

Ta có $x^2+x=2y^2+y$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x=4y^2+2y$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x-(4y^2+2y)=0$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x-(2y+1)^2+1=0$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x+(2y+1)^2=(2y+1)^2-1$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x+(2y+1)^2=4y(y+1)$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x+(2y+1)^2=4y^2+4y$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x+(2y+1)^2=2(2y^2+2y)$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x+(2y+1)^2=2(x^2+x)$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x+(2y+1)^2=2x^2+2x$ $\Leftrightarrow (2y+1)^2=0$ $\Leftrightarrow 2y+1=0$ $\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2}$ Nhưng $y \in \mathbb{N}$ nên không tồn tại $y$ thỏa mãn. Do đó, ta có: $(2y+1)^2=0$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.