Giải giúp mình bài toán khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với ạ BTVN: Khảo sát sự biến thiên và vẽ.,$a)~y=\frac{x-1}{x+1}$,$b)~y=-x^3+3x+2$,$c)~y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$

Question

Accepted Answer

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm các điểm cực trị, xét dấu đạo hàm, tìm tiệm cận (nếu có), và cuối cùng là vẽ đồ thị.

a) Hàm số $ y = \frac{x-1}{x+1} $

1. Tập xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi mẫu thức khác 0, tức là $ x + 1 \neq 0 $. Do đó, tập xác định là $ \mathbb{R} \setminus \{-1\} $.

2. Tính đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = \frac{(x+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}
   $$

3. Xét dấu đạo hàm: Vì $ y&#x27; = \frac{2}{(x+1)^2} > 0 $ với mọi $ x \neq -1 $, hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

4. Tiệm cận:
   - Tiệm cận đứng: $ x = -1 $.
   - Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \pm \infty} y = 1$.

5. Vẽ đồ thị: Đồ thị hàm số là một hyperbol với tiệm cận đứng $ x = -1 $ và tiệm cận ngang $ y = 1 $.

b) Hàm số $ y = -x^3 + 3x + 2 $

1. Tập xác định: Hàm số xác định với mọi $ x \in \mathbb{R} $.

2. Tính đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = -3x^2 + 3
   $$

3. Tìm cực trị:
   - Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $: $-3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
   - Tính $ y $ tại các điểm này:
     - $ x = 1 $: $ y = -1 + 3 + 2 = 4 $.
     - $ x = -1 $: $ y = 1 - 3 + 2 = 0 $.

4. Xét dấu đạo hàm:
   - $ y&#x27; > 0 $ khi $ x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) $.
   - $ y&#x27; < 0 $ khi $ x \in (-1, 1) $.

5. Kết luận cực trị:
   - Cực đại tại $ x = 1 $, $ y = 4 $.
   - Cực tiểu tại $ x = -1 $, $ y = 0 $.

6. Vẽ đồ thị: Đồ thị hàm số có dạng bậc ba với cực đại tại $ (1, 4) $ và cực tiểu tại $ (-1, 0) $.

c) Hàm số $ y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x-1} $

1. Tập xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi $ x - 1 \neq 0 $, tức là $ x \neq 1 $.

2. Tính đạo hàm:
   $$
   y&#x27; = \frac{(x-1)(2x-3) - (x^2 - 3x + 6) \cdot 1}{(x-1)^2}
   $$
   $$
   = \frac{2x^2 - 3x - 2x + 3 - x^2 + 3x - 6}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 6}{(x-1)^2}
   $$

3. Xét dấu đạo hàm: 
   - Giải $ x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6} $.
   - Xét dấu trên các khoảng: $ (-\infty, -\sqrt{6}) $, $ (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) $, $ (\sqrt{6}, \infty) $.

4. Tiệm cận:
   - Tiệm cận đứng: $ x = 1 $.
   - Tiệm cận xiên: Chia tử cho mẫu: $ y = x + 1 + \frac{5}{x-1} $.

5. Vẽ đồ thị: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại $ x = 1 $ và tiệm cận xiên $ y = x + 1 $.

Trên đây là các bước khảo sát và vẽ đồ thị cho từng hàm số.