Phần $\rm a)$.

Để chứng minh giá trị của biểu thức \( A = \frac{(\tan^2x - \sin^2x)(\cot^2x - \cos^2x)}{\sin^2 2x} \) không phụ thuộc vào \( x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức xác định khi: - \(\sin x \neq 0\) và \(\cos x \neq 0\) (điều kiện cho \(\tan x\) và \(\cot x\) xác định). - \(\sin 2x \neq 0\). Điều kiện \(\sin x \neq 0\) và \(\cos x \neq 0\) tương đương với \(x \neq k\pi\) và \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Điều kiện \(\sin 2x \neq 0\) tương đương với \(2x \neq n\pi\) hay \(x \neq \frac{n\pi}{2}\) với \(n \in \mathbb{Z}\). Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \(x \neq k\pi\) và \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Bước 2: Biến đổi biểu thức Ta có: \[ \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}, \quad \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}, \quad \sin 2x = 2\sin x \cos x \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\left(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x\right)\left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \cos^2 x\right)}{(2\sin x \cos x)^2} \] Biến đổi từng phần: \[ \tan^2 x - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} \] \[ \cot^2 x - \cos^2 x = \frac{\cos^2 x - \cos^4 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x (1 - \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\left(\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}\right)\left(\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}\right)}{4\sin^2 x \cos^2 x} \] Rút gọn: \[ A = \frac{\sin^4 x \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x \cdot 4\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{\sin^4 x \cos^4 x}{4\sin^4 x \cos^4 x} = \frac{1}{4} \] Kết luận: Giá trị của \( A \) là \(\frac{1}{4}\), không phụ thuộc vào \( x \).