giải giúp tôi

Câu 1: a) Ta có \( f(0) = 0 \cdot e^{-0} = 0 \) và \( f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \). b) Đạo hàm của hàm số \( f(x) = xe^{-x} \) là: \[ f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x). \] c) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ e^{-x}(1 - x) = 0. \] Do \( e^{-x} > 0 \) với mọi \( x \), nên ta có: \[ 1 - x = 0 \implies x = 1. \] Vậy nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; 3]\) là \( x = 1 \). d) Để tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\), ta xét các giá trị tại các điểm đầu mút và điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \( f(0) = 0 \). - Tại \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{1}{e} \). - Tại \( x = 3 \): \( f(3) = 3e^{-3} \). So sánh các giá trị này: \[ f(0) = 0, \quad f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.3679, \quad f(3) = 3e^{-3} \approx 0.1494. \] Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\) là \( \frac{1}{e} \), đạt được khi \( x = 1 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\) là \( \frac{1}{e} \), đạt được khi \( x = 1 \). Câu 3: a) Đúng vì hàm số đa thức luôn xác định trên $\mathbb{R}.$ b) Sai vì $f(0)=1$ c) Đúng vì phương trình $x^2-5x+1=0$ có hai nghiệm phân biệt. d) Đúng vì $f'(x)=(2x-5)c^x+(x^2-5x+1)c^x=c^x(x^2-3x-4)$ $f'(x)=0$ $\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=4$ Hàm số đồng biến trên $(-1;4)$ Câu 4: a) Ta có: \[ f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \] \[ f(e^{2+1}) = f(e^3) = \frac{\ln e^3}{e^3} = \frac{3}{e^3} \] b) Đạo hàm của hàm số \( y = f(x) = \frac{\ln x}{x} \) là: \[ f'(x) = \frac{( \ln x )' \cdot x - \ln x \cdot x'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] c) Để tìm các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \] \[ 1 - \ln x = 0 \] \[ \ln x = 1 \] \[ x = e \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) là \( e \). d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) trên đoạn \([2; 3]\), ta xét đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] Trên đoạn \([2; 3]\), ta có: \[ f(2) = \frac{\ln 2}{2} \] \[ f(3) = \frac{\ln 3}{3} \] So sánh hai giá trị này: \[ \frac{\ln 2}{2} \approx 0.3466 \] \[ \frac{\ln 3}{3} \approx 0.3662 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([2; 3]\) là: \[ \min \left\{ \frac{\ln 2}{2}, \frac{\ln 3}{3} \right\} = \frac{\ln 2}{2} \] Câu 5: a) Điều kiện xác định của hàm số \( y = f(x) = \log_3(5x - 3) \): \[ 5x - 3 > 0 \] \[ 5x > 3 \] \[ x > \frac{3}{5} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = f(x) \) là: \[ D = \left( \frac{3}{5}; +\infty \right) \] b) Kiểm tra đồ thị hàm số \( y = f(x) \) có đi qua điểm \( M(2; 7) \) hay không: \[ y = \log_3(5 \cdot 2 - 3) \] \[ y = \log_3(10 - 3) \] \[ y = \log_3(7) \] Do \( \log_3(7) \neq 7 \), nên đồ thị hàm số \( y = f(x) \) không đi qua điểm \( M(2; 7) \). c) Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) = \log_3(5x - 3) \): Hàm số \( y = \log_3(u) \) đồng biến khi \( u > 0 \) và \( u' > 0 \). Ta có: \[ u = 5x - 3 \] \[ u' = 5 \] Vì \( u' = 5 > 0 \) và \( u > 0 \) khi \( x > \frac{3}{5} \), nên hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( \left( \frac{3}{5}; +\infty \right) \). d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \( \left[ \frac{6}{5}; \frac{12}{5} \right] \): Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn: \[ y\left( \frac{6}{5} \right) = \log_3 \left( 5 \cdot \frac{6}{5} - 3 \right) = \log_3(6 - 3) = \log_3(3) = 1 \] \[ y\left( \frac{12}{5} \right) = \log_3 \left( 5 \cdot \frac{12}{5} - 3 \right) = \log_3(12 - 3) = \log_3(9) = 2 \] Vì hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( \left( \frac{3}{5}; +\infty \right) \), nên trên đoạn \( \left[ \frac{6}{5}; \frac{12}{5} \right] \), hàm số cũng đồng biến. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này là \( 1 \) (đạt được tại \( x = \frac{6}{5} \)) và giá trị lớn nhất là \( 2 \) (đạt được tại \( x = \frac{12}{5} \)). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \( \left[ \frac{6}{5}; \frac{12}{5} \right] \) là: \[ 1 + 2 = 3 \] Đáp số: a) Tập xác định: \( \left( \frac{3}{5}; +\infty \right) \) b) Đồ thị không đi qua điểm \( M(2; 7) \) c) Hàm số đồng biến trên khoảng \( \left( \frac{3}{5}; +\infty \right) \) d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \( 3 \)