giải giúp tôi

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tìm hiểu tính chất của dãy số \((u_n)\) cho bởi công thức \(u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\). Bước 1: Xác định dãy số Dãy số \((u_n)\) được cho bởi: \[ u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \] Bước 2: Tìm giới hạn của dãy số Chúng ta biết rằng giới hạn của dãy số này khi \(n\) tiến đến vô cùng là hằng số \(e\). Cụ thể: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \] Trong đó \(e\) là hằng số Napier, xấp xỉ bằng 2.71828. Bước 3: Tính giá trị cụ thể của vài số hạng đầu tiên Chúng ta có thể tính một số giá trị cụ thể để thấy sự hội tụ của dãy số: - Khi \(n = 1\): \[ u_1 = \left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2 \] - Khi \(n = 2\): \[ u_2 = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2.25 \] - Khi \(n = 3\): \[ u_3 = \left(1 + \frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 \approx 2.37037 \] - Khi \(n = 4\): \[ u_4 = \left(1 + \frac{1}{4}\right)^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 \approx 2.44141 \] - Khi \(n = 5\): \[ u_5 = \left(1 + \frac{1}{5}\right)^5 = \left(\frac{6}{5}\right)^5 \approx 2.48832 \] Như vậy, ta thấy rằng dãy số \((u_n)\) tăng dần và hội tụ về hằng số \(e\). Kết luận Dãy số \((u_n)\) cho bởi \(u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) hội tụ về hằng số \(e\) khi \(n\) tiến đến vô cùng. Giá trị của \(e\) xấp xỉ bằng 2.71828. Do đó, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = e \]