giải bài sau bằng kiến thức lớp 9 kì 1

Bài 4: a) Rút gọn biểu thức M: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 4 \). Ta có: \[ M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x} + 4}{4 - x} \] Nhận thấy rằng \( 4 - x = (\sqrt{x} - 2)(-\sqrt{x} - 2) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(-\sqrt{x} - 2)} \] Ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân số: \[ M = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 2) + 2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Tiếp theo, ta thực hiện phép nhân ở tử số: \[ M = \frac{x - 2\sqrt{x} + x + 4\sqrt{x} + 4 + 2\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Gộp các hạng tử giống nhau: \[ M = \frac{2x + 4\sqrt{x} + 8}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Rút gọn tử số: \[ M = \frac{2(x + 2\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Do đó, ta có: \[ M = \frac{2(\sqrt{x} + 2)^2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Rút gọn phân số: \[ M = \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} \] b) Tìm x biết \( |M| = M \): \[ |M| = M \] \[ \left| \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} \right| = \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} \] Điều này xảy ra khi: \[ \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} \geq 0 \] Do đó, ta có: \[ \sqrt{x} - 2 > 0 \] \[ \sqrt{x} > 2 \] \[ x > 4 \] c) Tìm các số nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên: \[ M = \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} \] Để M nhận giá trị nguyên, ta cần: \[ \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} \in \mathbb{Z} \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ M = \frac{2(t + 2)}{t - 2} \] Để M nhận giá trị nguyên, ta cần: \[ \frac{2(t + 2)}{t - 2} \in \mathbb{Z} \] Do đó, ta có: \[ t - 2 \mid 2(t + 2) \] \[ t - 2 \mid 2t + 4 \] \[ t - 2 \mid 2t + 4 - 2(t - 2) \] \[ t - 2 \mid 8 \] Các giá trị của \( t \) thỏa mãn điều kiện trên là: \[ t - 2 = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \] Do đó, ta có: \[ t = 3, 1, 4, 0, 6, -2, 10, -6 \] Kiểm tra các giá trị này, ta thấy chỉ có \( t = 3, 4, 6, 10 \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). Vậy, các số nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên là: \[ x = 9, 16, 36, 100 \]