Giải giúp mình

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần xác định vận tốc của máy bay và sau đó tính toán vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Bước 1: Tính vận tốc của máy bay Máy bay di chuyển từ điểm \( M(500; 200; 8) \) đến điểm \( N(800; 300; 10) \) trong 20 phút. Ta có thể tính vận tốc của máy bay bằng cách xác định vector chuyển động từ \( M \) đến \( N \). Vector chuyển động \( \overrightarrow{MN} \) là: \[ \overrightarrow{MN} = (800 - 500; 300 - 200; 10 - 8) = (300; 100; 2) \] Vận tốc của máy bay là vector chuyển động chia cho thời gian di chuyển: \[ \overrightarrow{v} = \left(\frac{300}{20}; \frac{100}{20}; \frac{2}{20}\right) = (15; 5; 0.1) \] Bước 2: Tính tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo Sau 5 phút, máy bay sẽ di chuyển thêm một đoạn bằng 5 lần vận tốc đã tính. Tọa độ mới của máy bay sẽ là: \[ \overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{ON} + 5 \times \overrightarrow{v} \] Tọa độ của điểm \( N \) là \( (800; 300; 10) \), do đó: \[ \overrightarrow{OM'} = (800; 300; 10) + 5 \times (15; 5; 0.1) \] Tính toán: \[ 5 \times (15; 5; 0.1) = (75; 25; 0.5) \] Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là: \[ (800 + 75; 300 + 25; 10 + 0.5) = (875; 325; 10.5) \] Kết luận: Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \( (875; 325; 10.5) \). Câu 2: Để xác định tọa độ của điểm \( N \), ta cần tìm phương trình đường thẳng chuyển động của máy bay và sử dụng thông tin về thời gian di chuyển. Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng chuyển động Máy bay di chuyển từ điểm \( M(1000; 600; 14) \) đến điểm \( Q(1400; 800; 16) \) trong 10 phút. Vectơ chỉ phương của đường thẳng chuyển động là: \[ \overrightarrow{MQ} = (1400 - 1000; 800 - 600; 16 - 14) = (400; 200; 2) \] Bước 2: Tìm phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(1000; 600; 14) \) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{MQ} = (400; 200; 2)\) là: \[ \begin{cases} x = 1000 + 400t \\ y = 600 + 200t \\ z = 14 + 2t \end{cases} \] trong đó \( t \) là tham số thời gian. Bước 3: Tìm giá trị của \( t \) khi máy bay đến điểm \( N \) Máy bay di chuyển từ \( M \) đến \( N \) trong 30 phút. Vì từ \( M \) đến \( Q \) mất 10 phút, nên từ \( M \) đến \( N \) mất 30 phút, tức là gấp 3 lần thời gian từ \( M \) đến \( Q \). Do đó, giá trị của \( t \) khi máy bay đến \( Q \) là 1 (vì 10 phút tương ứng với \( t = 1 \)), nên khi đến \( N \), giá trị của \( t \) sẽ là 3. Bước 4: Tính tọa độ của điểm \( N \) Thay \( t = 3 \) vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 1000 + 400 \times 3 = 2200 \\ y = 600 + 200 \times 3 = 1200 \\ z = 14 + 2 \times 3 = 20 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm \( N \) là \( (2200; 1200; 20) \). Câu 3: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Tìm tọa độ của chiếc khinh khí cầu 1. Xác định tọa độ trên trục Ox: - Chiếc khinh khí cầu cách điểm xuất phát 5 km về phía Nam. Theo hệ trục tọa độ đã chọn, trục Ox hướng về phía Nam, nên tọa độ x là 5. 2. Xác định tọa độ trên trục Oy: - Chiếc khinh khí cầu cách điểm xuất phát 10 km về phía Đông. Theo hệ trục tọa độ đã chọn, trục Oy hướng về phía Đông, nên tọa độ y là 10. 3. Xác định tọa độ trên trục Oz: - Chiếc khinh khí cầu cách mặt đất 400 m. Đổi đơn vị từ mét sang kilômét: \(400 \, \text{m} = 0.4 \, \text{km}\). Trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, nên tọa độ z là 0.4. Vậy, tọa độ của chiếc khinh khí cầu là \((5, 10, 0.4)\). b) Xác định khoảng cách của chiếc khinh khí cầu với vị trí tại điểm xuất phát Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Với \((x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)\) là tọa độ điểm xuất phát và \((x_2, y_2, z_2) = (5, 10, 0.4)\) là tọa độ của chiếc khinh khí cầu: \[ d = \sqrt{(5 - 0)^2 + (10 - 0)^2 + (0.4 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2 + 0.4^2} \] \[ d = \sqrt{25 + 100 + 0.16} = \sqrt{125.16} \] \[ d \approx 11.185 \, \text{km} \] Vậy, khoảng cách của chiếc khinh khí cầu với vị trí tại điểm xuất phát là khoảng 11.185 km. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tìm tọa độ của chiếc máy bay Theo đề bài, chúng ta có hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với: - Gốc tọa độ \(O\) là điểm xuất phát của chiếc máy bay. - Trục \(Ox\) hướng về phía Bắc. - Trục \(Oy\) hướng về phía Tây. - Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời. Chiếc máy bay cách điểm xuất phát: - 50 km về phía Bắc, tức là theo trục \(Ox\), tọa độ \(x = 50\). - 20 km về phía Tây, tức là theo trục \(Oy\), tọa độ \(y = 20\). - 1 km cách mặt đất, tức là theo trục \(Oz\), tọa độ \(z = 1\). Vậy, tọa độ của chiếc máy bay trong hệ trục tọa độ đã chọn là \((50, 20, 1)\). b) Xác định khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát Khoảng cách từ điểm xuất phát \(O(0, 0, 0)\) đến điểm có tọa độ \((x, y, z)\) được tính theo công thức khoảng cách trong không gian ba chiều: \[ d = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} \] Thay tọa độ của chiếc máy bay vào công thức, ta có: \[ d = \sqrt{(50 - 0)^2 + (20 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{50^2 + 20^2 + 1^2} \] Tính toán cụ thể: \[ d = \sqrt{2500 + 400 + 1} = \sqrt{2901} \] Vậy, khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát là \(\sqrt{2901}\) km.