giải chính xác

Câu 4: a) Đúng vì A ∩ B là tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B. b) Đúng vì A ∪ B là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B. c) Sai vì B ∩ C là tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp B và C, nhưng 2 không thuộc cả hai tập hợp B và C. d) Đúng vì B ∪ C là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp B và C. Câu 1: Tập hợp $A=(-3;1]\cup(0;4].$ Ta thấy $-3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4.$ Do đó, các giá trị nguyên thuộc tập hợp A là $-2; -1; 0; 1; 2; 3.$ Vậy tập hợp A có 6 giá trị nguyên. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các phần tử của tập \( X \) và sau đó tính tổng \( S \) của các phần tử đó. Bước 1: Tìm các phần tử của tập \( X \). Phương trình cho tập \( X \) là: \[ (x^2 - 4)(x - 1) = 0 \] Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. Do đó, chúng ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: \( x^2 - 4 = 0 \) \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Trường hợp 2: \( x - 1 = 0 \) \[ x = 1 \] Vậy các phần tử của tập \( X \) là \( 2, -2, \) và \( 1 \). Bước 2: Tính tổng \( S \) của các phần tử của tập \( X \). Tổng \( S \) của các phần tử \( 2, -2, \) và \( 1 \) là: \[ S = 2 + (-2) + 1 \] \[ S = 2 - 2 + 1 \] \[ S = 1 \] Vậy tổng \( S \) các phần tử của tập \( X \) là \( 1 \). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm tất cả các cặp số nguyên $(m_0; m_0)$ thỏa mãn bất phương trình $2x + 3y - 10 \leq 0$. Bước 1: Thay $x$ và $y$ bằng $m_0$ trong bất phương trình: \[ 2m_0 + 3m_0 - 10 \leq 0 \] Bước 2: Kết hợp các hạng tử chứa $m_0$: \[ 5m_0 - 10 \leq 0 \] Bước 3: Giải bất phương trình để tìm $m_0$: \[ 5m_0 \leq 10 \] \[ m_0 \leq 2 \] Bước 4: Vì $m_0$ là số nguyên, chúng ta liệt kê tất cả các giá trị nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 2: \[ m_0 = 2, 1, 0, -1, -2, -3, \ldots \] Tuy nhiên, vì $m_0$ phải là số nguyên, chúng ta chỉ cần kiểm tra các giá trị từ $-\infty$ đến 2. Nhưng do tính chất của số nguyên, chúng ta chỉ cần kiểm tra các giá trị từ $-\infty$ đến 2. Bước 5: Kiểm tra từng giá trị của $m_0$: - Khi $m_0 = 2$: \[ 2(2) + 3(2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0 \leq 0 \] (thỏa mãn) - Khi $m_0 = 1$: \[ 2(1) + 3(1) - 10 = 2 + 3 - 10 = -5 \leq 0 \] (thỏa mãn) - Khi $m_0 = 0$: \[ 2(0) + 3(0) - 10 = 0 + 0 - 10 = -10 \leq 0 \] (thỏa mãn) - Khi $m_0 = -1$: \[ 2(-1) + 3(-1) - 10 = -2 - 3 - 10 = -15 \leq 0 \] (thỏa mãn) - Khi $m_0 = -2$: \[ 2(-2) + 3(-2) - 10 = -4 - 6 - 10 = -20 \leq 0 \] (thỏa mãn) Như vậy, các giá trị của $m_0$ thỏa mãn bất phương trình là $2, 1, 0, -1, -2, -3, \ldots$ Do đó, có vô số cặp số nguyên $(m_0; m_0)$ thỏa mãn bất phương trình đã cho. Câu 4: Trước hết, ta vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Miền nghiệm của bất phương trình \( x + y - 3 \leq 0 \) là miền nằm phía dưới đường thẳng \( x + y = 3 \). Miền nghiệm của bất phương trình \( x \geq 0 \) là miền nằm phía bên phải trục \( Oy \). Miền nghiệm của bất phương trình \( y \geq 0 \) là miền nằm phía trên trục \( Ox \). Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác có ba đỉnh lần lượt là \( A(0; 0) \), \( B(3; 0) \), \( C(0; 3) \). Ta thấy rằng \( F \) là một biểu thức tuyến tính của \( x \) và \( y \). Do đó, giá trị lớn nhất của \( F \) sẽ đạt được tại một trong ba đỉnh của miền nghiệm. Ta có: \[ F(A) = F(0; 0) = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 \] \[ F(B) = F(3; 0) = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 9 \] \[ F(C) = F(0; 3) = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 3 = -6 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( F \) là 9, đạt được khi \( x = 3 \) và \( y = 0 \). Câu 1: Các ước của 18 là 1; 2; 3; 6; 9; 18. Vậy B = {1; 2; 3; 6; 9; 18}. Câu 2: Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(3x - 2y \geq 2\) trên mặt phẳng tọa độ, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Vẽ đường thẳng biên Trước tiên, chúng ta cần vẽ đường thẳng biên của bất phương trình. Đường thẳng này được xác định bởi phương trình: \[ 3x - 2y = 2 \] Để vẽ đường thẳng này, chúng ta cần tìm hai điểm thuộc đường thẳng. - Tìm giao điểm với trục hoành (Ox): Đặt \(y = 0\), ta có: \[ 3x - 2(0) = 2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \] Vậy, điểm giao với trục hoành là \(\left(\frac{2}{3}, 0\right)\). - Tìm giao điểm với trục tung (Oy): Đặt \(x = 0\), ta có: \[ 3(0) - 2y = 2 \implies -2y = 2 \implies y = -1 \] Vậy, điểm giao với trục tung là \((0, -1)\). Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(\left(\frac{2}{3}, 0\right)\) và \((0, -1)\). Bước 2: Xác định miền nghiệm Sau khi vẽ đường thẳng, chúng ta cần xác định miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y \geq 2\). - Chọn một điểm thử: Thông thường, ta chọn điểm \((0, 0)\) để thử, trừ khi điểm này nằm trên đường thẳng. Thay \((0, 0)\) vào bất phương trình: \[ 3(0) - 2(0) = 0 \quad \text{(không thỏa mãn \(0 \geq 2\))} \] Vì điểm \((0, 0)\) không thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm sẽ nằm ở phía không chứa điểm \((0, 0)\). Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y \geq 2\) là nửa mặt phẳng chứa đường thẳng \(3x - 2y = 2\) và không chứa điểm \((0, 0)\). Đường thẳng này là biên của miền nghiệm và được vẽ bằng nét liền vì dấu bất phương trình là \(\geq\). Kết luận Trên mặt phẳng tọa độ, miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y \geq 2\) là nửa mặt phẳng phía trên (hoặc bên phải) của đường thẳng \(3x - 2y = 2\), không chứa điểm \((0, 0)\). Câu 3: Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét từng bất phương trình 1. Bất phương trình thứ nhất: \(2x - y > 1\) - Phương trình đường thẳng tương ứng: \(2x - y = 1\). - Tìm hai điểm để vẽ đường thẳng: - Cho \(x = 0\), ta có \(2(0) - y = 1 \Rightarrow y = -1\). Điểm \(A(0, -1)\). - Cho \(y = 0\), ta có \(2x - 0 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). Điểm \(B\left(\frac{1}{2}, 0\right)\). - Vẽ đường thẳng qua hai điểm \(A(0, -1)\) và \(B\left(\frac{1}{2}, 0\right)\). - Chọn điểm kiểm tra, ví dụ \(O(0, 0)\): - Thay vào bất phương trình: \(2(0) - 0 > 1 \Rightarrow 0 > 1\) (sai). - Vậy miền nghiệm là phía không chứa điểm \(O(0, 0)\). 2. Bất phương trình thứ hai: \(2x + 3y \leq 15\) - Phương trình đường thẳng tương ứng: \(2x + 3y = 15\). - Tìm hai điểm để vẽ đường thẳng: - Cho \(x = 0\), ta có \(2(0) + 3y = 15 \Rightarrow y = 5\). Điểm \(C(0, 5)\). - Cho \(y = 0\), ta có \(2x + 3(0) = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{2}\). Điểm \(D\left(\frac{15}{2}, 0\right)\). - Vẽ đường thẳng qua hai điểm \(C(0, 5)\) và \(D\left(\frac{15}{2}, 0\right)\). - Chọn điểm kiểm tra, ví dụ \(O(0, 0)\): - Thay vào bất phương trình: \(2(0) + 3(0) \leq 15 \Rightarrow 0 \leq 15\) (đúng). - Vậy miền nghiệm là phía chứa điểm \(O(0, 0)\). 3. Bất phương trình thứ ba: \(-x + 3y \geq 1\) - Phương trình đường thẳng tương ứng: \(-x + 3y = 1\). - Tìm hai điểm để vẽ đường thẳng: - Cho \(x = 0\), ta có \(-0 + 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\). Điểm \(E\left(0, \frac{1}{3}\right)\). - Cho \(y = 0\), ta có \(-x + 3(0) = 1 \Rightarrow x = -1\). Điểm \(F(-1, 0)\). - Vẽ đường thẳng qua hai điểm \(E\left(0, \frac{1}{3}\right)\) và \(F(-1, 0)\). - Chọn điểm kiểm tra, ví dụ \(O(0, 0)\): - Thay vào bất phương trình: \(-0 + 3(0) \geq 1 \Rightarrow 0 \geq 1\) (sai). - Vậy miền nghiệm là phía không chứa điểm \(O(0, 0)\). Bước 2: Xác định miền nghiệm chung - Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần giao của ba miền nghiệm đã xác định ở trên. - Vẽ các đường thẳng và xác định miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ. - Miền nghiệm chung là phần giao của các miền đã xác định, không chứa điểm \(O(0, 0)\) đối với bất phương trình thứ nhất và thứ ba, nhưng chứa điểm \(O(0, 0)\) đối với bất phương trình thứ hai. Kết luận Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần giao của các miền nghiệm đã xác định, được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ. Câu 4: a) Ta có: - Tập hợp $A\cap B$ là tập hợp các phần tử chung của A và B. Vậy $A\cap B=\{2;4;6;8\}$ - Tập hợp $A\cup B$ là tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Vậy $A\cup B=\{1;2;3;4;5;6;7;8;10\}$ - Tập hợp $A\setminus B$ là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Vậy $A\setminus B=\{1;3;5;7\}$ b) Ta có: - Tập hợp $A\cap B$ là tập hợp các phần tử chung của A và B. Vậy $A\cap B=[2;4]$ - Tập hợp $A\cup B$ là tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Vậy $A\cup B=(-3;7)$ - Tập hợp $A\setminus B$ là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Vậy $A\setminus B=(4;7)$ Câu 5: Gọi x là số bánh đậu xanh và y là số bánh thập cẩm mà cửa hàng sản xuất. Ta có các ràng buộc về nguyên liệu: - Số đường cần dùng: 0.06x + 0.08y ≤ 300 - Số đậu cần dùng: 0.08x + 0.04y ≤ 200 Cũng cần đảm bảo x ≥ 0 và y ≥ 0 vì số lượng bánh không thể âm. Doanh thu từ việc bán bánh sẽ là: - Lãi từ bánh đậu xanh: 18000x - Lãi từ bánh thập cẩm: 20000y Mục tiêu là tối đa hóa tổng lợi nhuận P = 18000x + 20000y. Bây giờ ta sẽ vẽ miền khả thi dựa trên các ràng buộc đã nêu và tìm điểm tối ưu trong miền này. 1. Ràng buộc đường: 0.06x + 0.08y ≤ 300 Chia cả hai vế cho 0.02: 3x + 4y ≤ 15000 2. Ràng buộc đậu: 0.08x + 0.04y ≤ 200 Chia cả hai vế cho 0.04: 2x + y ≤ 5000 Miền khả thi là tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãn tất cả các ràng buộc trên. Ta sẽ kiểm tra các đỉnh của miền này để tìm điểm tối ưu. Đỉnh A: Giao của 3x + 4y = 15000 và 2x + y = 5000 Giải hệ phương trình: 3x + 4y = 15000 2x + y = 5000 Nhân phương trình thứ hai với 4: 8x + 4y = 20000 Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình thứ ba: (8x + 4y) - (3x + 4y) = 20000 - 15000 5x = 5000 x = 1000 Thay x = 1000 vào phương trình 2x + y = 5000: 2(1000) + y = 5000 2000 + y = 5000 y = 3000 Đỉnh B: Giao của 3x + 4y = 15000 và y = 0 3x + 4(0) = 15000 3x = 15000 x = 5000 Đỉnh C: Giao của 2x + y = 5000 và x = 0 2(0) + y = 5000 y = 5000 Bây giờ ta tính lợi nhuận tại các đỉnh: - Tại đỉnh A (1000, 3000): P = 18000(1000) + 20000(3000) = 18000000 + 60000000 = 78000000 - Tại đỉnh B (5000, 0): P = 18000(5000) + 20000(0) = 90000000 - Tại đỉnh C (0, 5000): P = 18000(0) + 20000(5000) = 100000000 Từ đó, ta thấy rằng số tiền lời nhiều nhất có thể thu được sau tết Trung Thu là 100000000 đồng khi sản xuất 0 bánh đậu xanh và 5000 bánh thập cẩm.