giúp em bài này với

Câu 1: Phần 1: Xác định biểu thức vectơ đúng Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) với các vectơ: - \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a}\) - \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}\) - \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\) - \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}\) Xét các biểu thức vectơ: A. \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) B. \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}\) C. \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}\) D. \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}\) Phân tích: - A: \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) không đúng vì \(\overrightarrow{a}\) là vectơ vuông góc với mặt phẳng đáy. - B: \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}\) không đúng vì tổng này không tạo thành một vòng kín. - C: \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}\) đúng vì \(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c}\). - D: \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}\) không đúng vì \(\overrightarrow{a}\) không nằm trong mặt phẳng đáy. Vậy, biểu thức đúng là C. Phần 2: Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C'D'}\) Cho lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Phân tích: - Trong lập phương, \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo của mặt phẳng đáy \(ABC\), do đó: \[ \overrightarrow{AC} = \langle 1, 1, 0 \rangle \] Độ dài \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). - \(\overrightarrow{C'D'}\) là đường chéo của mặt phẳng trên cùng, song song và bằng \(\overrightarrow{AC}\), do đó: \[ \overrightarrow{C'D'} = \langle 0, 1, 1 \rangle \] Độ dài \(|\overrightarrow{C'D'}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). - Tổng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C'D'} = \langle 1, 1, 0 \rangle + \langle 0, 1, 1 \rangle = \langle 1, 2, 1 \rangle \] - Độ dài của \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C'D'}\): \[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C'D'}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \] Vậy, độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C'D'}\) là \(\sqrt{6}\). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định vectơ \((\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO})\). 1. Xác định tâm O của hình bình hành ABCD: - Trong hình bình hành, tâm O là giao điểm của hai đường chéo. Do đó, \(\overrightarrow{O}\) có thể được biểu diễn như: \[ \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2} \] 2. Tính \(\overrightarrow{AO}\) và \(\overrightarrow{DO}\): - \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{O} - \overrightarrow{A}\) - \(\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{O} - \overrightarrow{D}\) 3. Tính \((\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO})\): \[ \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} = (\overrightarrow{O} - \overrightarrow{A}) - (\overrightarrow{O} - \overrightarrow{D}) = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} \] 4. Kết luận: Vậy, \((\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO}) = \overrightarrow{DA}\). Do đó, vectơ \((\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO})\) bằng vectơ \(\overrightarrow{DA}\). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định mối quan hệ giữa các vectơ trong hình bình hành \(ABCD\). Trong hình bình hành, ta có các tính chất sau: 1. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, điểm \(O\) là trung điểm của cả \(AC\) và \(BD\). 2. Ta có: \[ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD} \] 3. Xét các vectơ: - \(\overrightarrow{AD}\) là vectơ cần tìm. 4. Trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] 5. Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD} \] 6. Từ đó, ta có thể suy ra: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] Vậy, đáp án đúng là \(D.~\overrightarrow{AC}.\) Câu 4: Để xác định khẳng định nào đúng, ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\) - Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) là các vectơ cạnh của hình hộp. - Tổng \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\) không thể bằng \(\overrightarrow{AC}\) vì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) không triệt tiêu nhau. Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định B: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA^\prime}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC^2}.\) - Vế trái là tổng của ba vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA^\prime}, \overrightarrow{AD}\). - Vế phải là \(\overrightarrow{AC^2}\), không có ý nghĩa trong ngữ cảnh vectơ vì \(\overrightarrow{AC^2}\) không phải là một vectơ. Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định C: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA^\prime}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\) - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\) (do \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo của mặt phẳng đáy ABCD). - Thêm \(\overrightarrow{AA^\prime}\) vào, ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AC'}\). - Vế phải là \(\overrightarrow{AC}\), không bằng \(\overrightarrow{AC'}\). Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định D: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow0.\) - Vế trái: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AD}\). - \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\), do đó vế trái trở thành \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). - \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\), không thể bằng \(\overrightarrow{0}\). Do đó, khẳng định này sai. Kết luận: Không có khẳng định nào trong các khẳng định A, B, C, D là đúng.