giúp mình câu trắc nghiệm và đúng sai với

Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\). 1. Xác định các vectơ: - Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), do đó: \[ \overrightarrow{AB} = (a, 0, 0) \] - \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = \sqrt{3}a\), do đó: \[ \overrightarrow{SB} = (0, 0, \sqrt{3}a) \] - Vectơ \(\overrightarrow{AS}\) có thể được viết là: \[ \overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BS} = (a, 0, 0) + (0, 0, \sqrt{3}a) = (a, 0, \sqrt{3}a) \] 2. Tính tích vô hướng: Tích vô hướng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\) là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AS} = a \cdot a + 0 \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{3}a = a^2 \] 3. Tính độ dài các vectơ: - Độ dài của \(\overrightarrow{AB}\) là: \[ |\overrightarrow{AB}| = a \] - Độ dài của \(\overrightarrow{AS}\) là: \[ |\overrightarrow{AS}| = \sqrt{a^2 + (\sqrt{3}a)^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] 4. Tính góc giữa hai vectơ: Sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AS} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AS}| \cdot \cos \theta \] \[ a^2 = a \cdot 2a \cdot \cos \theta \] \[ \cos \theta = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} \] Do đó, \(\theta = 60^\circ\). Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AS}\) là \(60^\circ\). Đáp án đúng là \(A.~60^\circ\). Câu 12: Để tìm độ dài của vector \(\overrightarrow{AC}\), ta sử dụng thông tin đã cho và công thức liên quan đến tích vô hướng của hai vector. Ta có: - \(AB = 4\) - \(\angle BAC = 60^\circ\) - \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6\) Theo công thức tích vô hướng của hai vector, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 6 = 4 \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), ta thay vào: \[ 6 = 4 \cdot AC \cdot \frac{1}{2} \] Rút gọn phương trình: \[ 6 = 2 \cdot AC \] Giải phương trình để tìm \(AC\): \[ AC = \frac{6}{2} = 3 \] Vậy độ dài của \(\overrightarrow{AC}\) là 3. Đáp án đúng là A. 3. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. - Do ABCD là hình chữ nhật, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ đối nhau. Cụ thể, $\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)$ và $\overrightarrow{CD} = (-a, 0, 0)$. - Như vậy, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương nhưng ngược hướng. Kết luận: Khẳng định a) sai. Khẳng định b): Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^0.$ - Ta có $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy, nên $S$ có tọa độ $(0, 0, 2a)$, $A(0, 0, 0)$, $C(a, 2a, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{SC} = (a, 2a, -2a)$ và $\overrightarrow{AC} = (a, 2a, 0)$. - Tích vô hướng $\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a + 2a \cdot 2a + (-2a) \cdot 0 = 5a^2$. - Độ dài của $\overrightarrow{SC} = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{9a^2} = 3a$. - Độ dài của $\overrightarrow{AC} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$. - Cosine của góc giữa hai vectơ là $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{SC}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{5a^2}{3a \cdot a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. - Do $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, nên góc giữa $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{AC}$ không phải là $60^\circ$. Kết luận: Khẳng định b) sai. Khẳng định c): Tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=\frac{a^2}2.$ - Trung điểm $M$ của $SB$ có tọa độ $M = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$. - Vectơ $\overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$. - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)$. - Tích vô hướng $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + a \cdot 0 = \frac{a^2}{2}$. Kết luận: Khẳng định c) đúng. Khẳng định d): Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt3}2.$ - Trung điểm $N$ của $SD$ có tọa độ $N = \left(0, a, a\right)$. - Vectơ $\overrightarrow{AN} = \left(0, a, a\right)$. - Vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right) - \left(0, a, a\right) = \left(\frac{a}{2}, -a, 0\right)$. - Độ dài của $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Kết luận: Khẳng định d) sai. Tóm lại, chỉ có khẳng định c) là đúng.