giúp mình câu đúng sai với

Câu 3: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta thực hiện các bước sau: a) \(\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{b}\): Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{5}\overrightarrow{b} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} \] Khẳng định a) đúng. b) \(\overrightarrow{EN}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\): Ta có: \[ \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC} \] Vì \(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\), nên: \[ \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}) \] Khẳng định b) sai. c) \((m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c})^2 = m^2\overrightarrow{a}^2 + n^2\overrightarrow{b}^2 + p^2\overrightarrow{c}^2\): Biểu thức này chỉ đúng khi các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) đôi một vuông góc. Trong hình hộp chữ nhật, điều này đúng. Do đó, khẳng định c) đúng. d) \(MN=\frac{\sqrt{61}}{5}\): Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{EN} - \overrightarrow{AM} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}) - \frac{1}{5}\overrightarrow{b} \] \[ = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} \] Độ dài: \[ MN = \sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot 2^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 3^2} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 4 + \frac{1}{25} \cdot 9} \] \[ = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1 \] Khẳng định d) sai. Tóm lại: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) sai. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): Có 6 vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Tứ diện đều ABCD có 4 đỉnh, do đó số cặp điểm có thể chọn làm điểm đầu và điểm cuối của vectơ là $C_4^2 = 6$. Tuy nhiên, mỗi cặp điểm có thể tạo ra 2 vectơ khác nhau (một vectơ từ điểm đầu đến điểm cuối và một vectơ ngược lại). Do đó, số vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ có thể tạo ra là $2 \times 6 = 12$. Khẳng định này sai. Khẳng định b): Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $60^\circ$. Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều, nên tất cả các cạnh đều bằng nhau và các góc giữa các cạnh cũng bằng nhau. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc giữa hai cạnh của tam giác đều, và bằng $60^\circ$. Khẳng định này đúng. Khẳng định c): Nếu $\overrightarrow{BE}=m\overrightarrow{BA}+n\overrightarrow{BC}+p\overrightarrow{BD}$ thì $m+n+p=\frac{2}{3}$. Để kiểm tra khẳng định này, ta cần biểu diễn $\overrightarrow{BE}$ theo các vectơ $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$. Ta có $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED = 2CE$. Do đó, $E$ chia đoạn $CD$ theo tỉ lệ $1:2$. Suy ra, tọa độ của $E$ có thể được biểu diễn như sau: \[ \overrightarrow{CE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}, \quad \overrightarrow{DE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CD} \] Vậy: \[ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} \] Biểu diễn $\overrightarrow{CD}$ theo $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} \] Thay vào biểu thức của $\overrightarrow{BE}$: \[ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}(-\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} \] So sánh với $\overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD}$, ta có $m = 0$, $n = \frac{2}{3}$, $p = \frac{1}{3}$. Do đó, $m+n+p = 0 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$. Khẳng định này sai. Khẳng định d): Tích vô hướng $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE}=\frac{a^2}{6}$. Ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \] Và từ phần trên: \[ \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) \cdot \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}\right) \] \[ = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}) + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BD}) \] Vì tứ diện đều, các tích vô hướng giữa các cạnh khác nhau là $\frac{a^2}{2}$ và tích vô hướng của một cạnh với chính nó là $a^2$. Do đó: \[ = \frac{2}{3} \cdot \frac{a^2}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{a^2}{2} + \frac{1}{3} \cdot a^2 \] \[ = \frac{a^2}{3} + \frac{a^2}{6} + \frac{a^2}{3} + \frac{a^2}{3} \] \[ = \frac{a^2}{6} + \frac{a^2}{6} + \frac{a^2}{6} + \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{2} \] Khẳng định này sai. Tóm lại, các khẳng định đúng và sai như sau: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) sai. - Khẳng định d) sai.