Giúp mình với! Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, $AB=a,$,$\widehat{BAC}=120^0;\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^0$ Biết góc giữa SB và đáy bằng $60^0.$ Tính thể tích V của khối,chóp S.ABC

Question

Accepted Answer

Để tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố của tam giác đáy $ \triangle ABC $.

Tam giác $ \triangle ABC $ là tam giác cân tại $ A $ với $ AB = AC = a $ và góc $ \widehat{BAC} = 120^\circ $.

Sử dụng định lý cosin trong tam giác $ \triangle ABC $, ta có:
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120^\circ)
$$
$$
BC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
$$
$$
BC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2
$$
$$
BC = a\sqrt{3}
$$

Bước 2: Xác định chiều cao từ $ S $ xuống mặt phẳng đáy $ (ABC) $.

Vì $ \widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^\circ $, nên $ SB $ và $ SC $ là các đường cao từ $ S $ xuống các cạnh $ AB $ và $ AC $ của tam giác đáy.

Góc giữa $ SB $ và mặt phẳng đáy $ (ABC) $ là $ 60^\circ $. Do đó, ta có:
$$
\cos(60^\circ) = \frac{SA}{SB}
$$
$$
\frac{1}{2} = \frac{SA}{SB}
$$
$$
SA = \frac{1}{2} \cdot SB
$$

Bước 3: Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.

Thể tích khối chóp $ S.ABC $ được tính theo công thức:
$$
V = \frac{1}{3} \cdot \text{diện tích đáy} \cdot \text{chiều cao}
$$

Diện tích tam giác $ \triangle ABC $ là:
$$
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(120^\circ)
$$
$$
= \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
$$

Chiều cao từ $ S $ xuống mặt phẳng $ (ABC) $ là $ SA $, và từ $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, ta có:
$$
SA = \frac{1}{2} \cdot SB
$$

Vì $ SB $ là đường cao từ $ S $ xuống $ AB $, ta có:
$$
SB = a
$$
$$
SA = \frac{1}{2} \cdot a = \frac{a}{2}
$$

Thể tích khối chóp:
$$
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{a}{2}
$$
$$
= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^3}{2}
$$
$$
= \frac{\sqrt{3}}{24} a^3
$$

Vậy, thể tích của khối chóp $ S.ABC $ là $ \frac{\sqrt{3}}{24} a^3 $.