giải chi tiết toán 12

Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3}{x - 1} \) và xác định các đặc điểm của đồ thị (C). a) Tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của phân thức bằng 0 và tử số không bằng 0 tại điểm đó. Xét mẫu số \( x - 1 = 0 \), ta có: \[ x = 1 \] Tại \( x = 1 \), tử số \( 2x^2 - 3 = 2(1)^2 - 3 = -1 \neq 0 \). Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). b) Tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 3}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 3}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \left( 2x - \frac{3}{x} \right) = \pm \infty \] Do đó, hàm số không có tiệm cận ngang. c) Tiệm cận xiên Tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \) khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số. Ở đây, bậc của tử số là 2 và bậc của mẫu số là 1, nên có thể có tiệm cận xiên. Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{2x^2 - 3}{x - 1} = 2x + 2 + \frac{-1}{x-1} \] Khi \( x \to \pm \infty \), \(\frac{-1}{x-1} \to 0\), do đó tiệm cận xiên là: \[ y = 2x + 2 \] d) Tâm đối xứng Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần tìm điểm \( I(a, b) \) sao cho đồ thị đối xứng qua điểm này. Đối với hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1, tâm đối xứng có thể được tìm bằng cách tính trung bình của nghiệm của tử số và mẫu số. Tử số: \( 2x^2 - 3 = 0 \) không có nghiệm thực. Mẫu số: \( x - 1 = 0 \) có nghiệm \( x = 1 \). Vì vậy, ta xét điểm \( I(1, f(1)) \). Tính \( f(1) \): \[ f(1) = \frac{2(1)^2 - 3}{1 - 1} \] Tuy nhiên, \( f(1) \) không xác định do mẫu số bằng 0. Nhưng từ phép chia đa thức, ta thấy rằng khi \( x \to 1 \), hàm số có dạng \( y = 2x + 2 \), nên tại \( x = 1 \), \( y = 2(1) + 2 = 4 \). Vậy, tâm đối xứng là \( I(1, 4) \). Tóm lại, các kết quả là: - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \). - Không có tiệm cận ngang. - Tiệm cận xiên: \( y = 2x + 2 \). - Tâm đối xứng: \( I(1, 4) \).