giải chi tiết toán 12

Câu 21: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó \(\theta\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Theo đề bài, ta có: - Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \( |\overrightarrow{a}| = 2 \). - Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{b}\) là \( |\overrightarrow{b}| = 3 \). - Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(60^\circ\). Do đó, ta có: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Thay các giá trị này vào công thức tích vô hướng, ta được: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(3\). Câu 22: Để tìm độ lớn của hợp lực của ba lực đã cho, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các lực trong mặt phẳng: Giả sử hai lực trong mặt phẳng là \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) với độ lớn lần lượt là 15 N và 12 N, và góc giữa chúng là \(120^\circ\). 2. Tính hợp lực của \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\): Để tính hợp lực của hai lực này, ta sử dụng công thức: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta} \] Với \(\theta = 120^\circ\), ta có \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Thay vào công thức: \[ F_{12} = \sqrt{15^2 + 12^2 + 2 \times 15 \times 12 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{225 + 144 - 180} \] \[ = \sqrt{189} \] \[ = \sqrt{9 \times 21} = 3\sqrt{21} \] 3. Xác định lực thứ ba: Lực thứ ba \(\vec{F_3}\) có độ lớn 9 N và vuông góc với mặt phẳng chứa \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\). 4. Tính hợp lực của ba lực: Do \(\vec{F_3}\) vuông góc với hợp lực \(\vec{F_{12}}\), ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính độ lớn của hợp lực tổng: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] Thay vào công thức: \[ F = \sqrt{(3\sqrt{21})^2 + 9^2} \] \[ = \sqrt{189 + 81} \] \[ = \sqrt{270} \] \[ = \sqrt{9 \times 30} = 3\sqrt{30} \] Tính giá trị gần đúng: \[ \sqrt{30} \approx 5.477 \] \[ F \approx 3 \times 5.477 = 16.431 \] Làm tròn đến hàng phần mười, ta có: \[ F \approx 16.4 \, \text{N} \] Vậy, độ lớn của hợp lực của ba lực trên là khoảng \(16.4\) Newton.