giải chi tiết toán 12

Câu 4: Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và có đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)^2(x^2 + 3x - 4) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn của hàm số là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). Ta có: \[ f'(x) = x(x-1)^2(x^2 + 3x - 4) \] Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ x(x-1)^2(x^2 + 3x - 4) = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 + 3x - 4 = 0 \] Giải từng trường hợp: \[ x = 0 \] \[ (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 \] \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0 \implies x = -4 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Vậy các điểm tới hạn là: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -4 \] 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các điểm tới hạn: Ta sẽ kiểm tra dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -4) \): Chọn \( x = -5 \): \[ f'(-5) = (-5)((-5)-1)^2((-5)^2 + 3(-5) - 4) = (-5)(-6)^2(25 - 15 - 4) = (-5)(36)(6) < 0 \] - Khoảng \( (-4, 0) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)((-2)-1)^2((-2)^2 + 3(-2) - 4) = (-2)(-3)^2(4 - 6 - 4) = (-2)(9)(-6) > 0 \] - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)(0.5-1)^2((0.5)^2 + 3(0.5) - 4) = (0.5)(-0.5)^2(0.25 + 1.5 - 4) = (0.5)(0.25)(-2.25) < 0 \] - Khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)(2-1)^2(2^2 + 3(2) - 4) = (2)(1)^2(4 + 6 - 4) = (2)(1)(6) > 0 \] 3. Xác định các điểm cực tiểu: Một điểm cực tiểu xảy ra khi \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương. - Tại \( x = -4 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương. Vậy, các điểm cực tiểu của hàm số là \( x = -4 \) và \( x = 1 \). Kết luận: Số điểm cực tiểu của hàm số là 2. Đáp án: C. 2. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là đường thẳng $y = L$ nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$. Điều này có nghĩa là khi $x$ tiến ra vô cùng (cả về phía dương và phía âm), giá trị của hàm số tiến dần đến một giá trị cố định $L$. Dựa vào dữ kiện của bài toán: - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$: Điều này cho thấy khi $x$ tiến ra dương vô cùng, giá trị của hàm số tiến dần đến 2. Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$: Điều này cho thấy khi $x$ tiến ra âm vô cùng, giá trị của hàm số tiến dần đến -2. Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = -2$. Vì vậy, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = 2$ và $y = -2$. Do đó, khẳng định đúng là: A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y=2$ và $y=-2$. Câu 6: Để xác định khẳng định nào là sai, ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết bằng cách sử dụng các phép toán vectơ cơ bản. Khẳng định A: \(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON}\). - Theo quy tắc cộng vectơ, ta có: \(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON}\). Điều này đúng vì khi cộng vectơ từ \(O\) đến \(M\) và từ \(M\) đến \(N\), ta được vectơ từ \(O\) đến \(N\). Khẳng định B: \(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{NM}\). - Ta có: \(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{NO} = \overrightarrow{NM}\). Điều này đúng vì \(\overrightarrow{NO} = -\overrightarrow{ON}\), và khi cộng \(\overrightarrow{OM}\) với \(\overrightarrow{NO}\), ta được \(\overrightarrow{NM}\). Khẳng định C: \(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{MN}\). - Ta có: \(\overrightarrow{MO} = -\overrightarrow{OM}\), do đó \(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{ON} = -\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{NM}\). Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{NM} \neq \overrightarrow{MN}\). Khẳng định D: \(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{MN}\). - Ta có: \(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{NO} = \overrightarrow{MN}\). Điều này đúng vì \(\overrightarrow{NO} = -\overrightarrow{ON}\), và khi cộng \(\overrightarrow{OM}\) với \(\overrightarrow{NO}\), ta được \(\overrightarrow{MN}\). Vậy, khẳng định sai là khẳng định C: \(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{MN}\). Câu 7: Để xác định hàm số nào luôn đồng biến trên khoảng \((- \infty; +\infty)\), chúng ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số và đảm bảo rằng đạo hàm luôn dương trên toàn bộ khoảng này. A. \( y = 2x^3 - 5x + 1 \) Đạo hàm: \[ y' = 6x^2 - 5 \] Phương trình \( y' = 0 \): \[ 6x^2 - 5 = 0 \] \[ x^2 = \frac{5}{6} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \] Do đó, \( y' \) sẽ đổi dấu tại \( x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \). Vì vậy, hàm số này không luôn đồng biến trên toàn bộ khoảng \((- \infty; +\infty)\). B. \( y = \frac{3x + 2}{5x - 7} \) Đạo hàm: \[ y' = \frac{(5x - 7) \cdot 3 - (3x + 2) \cdot 5}{(5x - 7)^2} \] \[ y' = \frac{15x - 21 - 15x - 10}{(5x - 7)^2} \] \[ y' = \frac{-31}{(5x - 7)^2} \] Vì \((5x - 7)^2 > 0\) với mọi \( x \neq \frac{7}{5} \), nên \( y' = \frac{-31}{(5x - 7)^2} < 0 \) với mọi \( x \neq \frac{7}{5} \). Do đó, hàm số này luôn nghịch biến trên các khoảng \((- \infty; \frac{7}{5})\) và \((\frac{7}{5}; +\infty)\). C. \( y = 3x^3 + 3x - 2 \) Đạo hàm: \[ y' = 9x^2 + 3 \] Vì \( 9x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \), nên \( y' > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, hàm số này luôn đồng biến trên toàn bộ khoảng \((- \infty; +\infty)\). D. \( y = x^4 + 3x^2 \) Đạo hàm: \[ y' = 4x^3 + 6x \] \[ y' = 2x(2x^2 + 3) \] Phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x(2x^2 + 3) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 + 3 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{(vì \( 2x^2 + 3 = 0 \) không có nghiệm thực)} \] Do đó, \( y' \) sẽ đổi dấu tại \( x = 0 \). Vì vậy, hàm số này không luôn đồng biến trên toàn bộ khoảng \((- \infty; +\infty)\). Kết luận: Hàm số luôn đồng biến trên khoảng \((- \infty; +\infty)\) là: \[ \boxed{C.~y = 3x^3 + 3x - 2} \]