giải chi tiết toán 12 đúng sai

Câu 1: Câu hỏi: Cho hàm số \( f(x) = -x^3 + 3x \). a) \( f'(x) = -3x^2 + 3 \) b) Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; -1) \) và \( (1; +\infty) \); nghịch biến trên khoảng \( (-1; 1) \). c) Hàm số đạt cực tiểu tại \( x_1 = -1 \) và đạt cực đại tại \( x_2 = 1 \). d) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) bằng -16. Lời giải chi tiết: a) Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = -x^3 + 3x \): \[ f'(x) = -3x^2 + 3 \] b) Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3x^2 = -3 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] - Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 1) \), và \( (1; +\infty) \): - Trên khoảng \( (-\infty; -1) \), chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \] - Trên khoảng \( (-1; 1) \), chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 > 0 \] - Trên khoảng \( (1; +\infty) \), chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \] Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; -1) \) và \( (1; +\infty) \); nghịch biến trên khoảng \( (-1; 1) \). c) Xác định điểm cực trị của hàm số: - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2 \] Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \( x_1 = -1 \) và đạt cực đại tại \( x_2 = 1 \). d) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 3]\): - Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm dừng trong đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = -0^3 + 3(0) = 0 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = -1^3 + 3(1) = 2 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = -3^3 + 3(3) = -27 + 9 = -18 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) là 2 và giá trị nhỏ nhất là -18. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là: \[ 2 + (-18) = -16 \] Đáp án: a) Đạo hàm của hàm số \( f(x) = -x^3 + 3x \) là \( f'(x) = -3x^2 + 3 \). b) Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; -1) \) và \( (1; +\infty) \); nghịch biến trên khoảng \( (-1; 1) \). c) Hàm số đạt cực tiểu tại \( x_1 = -1 \) và đạt cực đại tại \( x_2 = 1 \). d) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) bằng -16. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ và kiểm tra các đặc điểm của đồ thị hàm số như đường tiệm cận và tâm đối xứng. a) Đường tiệm cận ngang Để tìm đường tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \left( x - 1 + \frac{3}{x-1} \right) = \infty \] Như vậy, hàm số không có đường tiệm cận ngang. Kết luận này cho thấy phần a) của đề bài không chính xác. b) Đường tiệm cận đứng Để tìm đường tiệm cận đứng, ta tìm các giá trị của $x$ làm cho mẫu số bằng 0 và tử số khác 0: Mẫu số $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Tử số $x^2 - 2x + 2 \neq 0$ khi $x = 1$. Vậy, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$. c) Đường tiệm cận xiên Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: Chia $x^2 - 2x + 2$ cho $x - 1$, ta được: \[ x^2 - 2x + 2 = (x - 1)(x - 1) + 1 \] Vậy: \[ \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x - 1} \to 0$, do đó đường tiệm cận xiên là $y = x - 1$. d) Tâm đối xứng Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần tìm điểm $(x_0, y_0)$ sao cho đồ thị đối xứng qua điểm này. Đối với hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1, tâm đối xứng thường là nghiệm của phương trình $x = \frac{-b}{2a}$ của tử số, tức là: \[ x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \] Thay $x_0 = 1$ vào hàm số, ta có: \[ y_0 = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \text{không xác định} \] Tuy nhiên, do $x = 1$ là đường tiệm cận đứng, nên không thể có tâm đối xứng tại $(1, y_0)$. Kết luận này cho thấy phần d) của đề bài không chính xác. Kết luận - Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$. - Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên $y = x - 1$. - Không có đường tiệm cận ngang. - Không có tâm đối xứng tại $(1, 2)$. Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến đồ thị hàm số, ta cần phân tích từng ý một cách chi tiết: a) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ \((1;-1)\): Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị có dạng của một hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, thường có dạng \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức này thường là giao điểm của hai đường tiệm cận. Từ đồ thị, ta thấy có hai đường tiệm cận: một đường tiệm cận đứng tại \(x = 1\) và một đường tiệm cận ngang tại \(y = -1\). Do đó, tâm đối xứng của đồ thị là \((1, -1)\). Vậy ý a là đúng. b) Hàm số có 2 cực trị: Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị không có điểm cực trị nào (không có điểm mà đồ thị đổi chiều từ tăng sang giảm hoặc ngược lại). Vậy ý b là sai. c) Giao điểm của đồ thị với trục hoành có tọa độ là \((0;2)\): Giao điểm của đồ thị với trục hoành là điểm mà \(y = 0\). Quan sát đồ thị, ta thấy không có điểm nào trên trục hoành. Do đó, ý c là sai. d) Điểm có tọa độ \((-1;-2)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho: Quan sát đồ thị, ta thấy điểm \((-1, -2)\) nằm trên đồ thị. Do đó, ý d là đúng. Tóm lại: - a) Đúng - b) Sai - c) Sai - d) Đúng