giải đúng sai toán 12 Câu 1. Cho hàm số $f(x)=-x^3+3x.$,$\underline{a)}~f^\prime(x)=-3x^2+3$ nghịch biến trên khoảng $(-1;1).X$,b) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty);$,và đạt cực đại tại $x_2=1.$,c) Hàm số đạt cực tiểu tại $x_1=-1$ bằng -16.g,d) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$,$x^2-2x+2$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết các phần của bài toán liên quan đến hàm số $ f(x) = -x^3 + 3x $, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

Phần a) Tìm đạo hàm và xét tính đơn điệu:
1. Tính đạo hàm của $ f(x) $:
   $$
   f&#x27;(x) = -3x^2 + 3
   $$

2. Xét dấu của $ f&#x27;(x) $:
   $$
   f&#x27;(x) = -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
   $$
   Ta có bảng xét dấu của $ f&#x27;(x) $:

| $ x $      | $ (-\infty, -1) $ | $ (-1, 1) $ | $ (1, +\infty) $ |
   |---------------|----------------------|----------------|----------------------|
   | $ f&#x27;(x) $ | $ - $             | $ + $       | $ - $             |

Từ bảng xét dấu, ta thấy:
   - $ f(x) $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (1, +\infty) $
   - $ f(x) $ đồng biến trên khoảng $ (-1, 1) $

Phần b) Xác định điểm cực trị:
1. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải $ f&#x27;(x) = 0 $:
   $$
   f&#x27;(x) = -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
   $$

2. Xét dấu của $ f&#x27;(x) $ để xác định tính chất của các điểm này:
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     f&#x27;&#x27;(x) = -6x \implies f&#x27;&#x27;(-1) = 6 > 0 \implies \text{Hàm số đạt cực tiểu tại } x = -1
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     f&#x27;&#x27;(x) = -6x \implies f&#x27;&#x27;(1) = -6 < 0 \implies \text{Hàm số đạt cực đại tại } x = 1
     $$

3. Tính giá trị cực trị:
   - Cực tiểu tại $ x = -1 $:
     $$
     f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 - 3 = -2
     $$
   - Cực đại tại $ x = 1 $:
     $$
     f(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2
     $$

Phần c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn $[0, 3]$:
1. Tính giá trị của $ f(x) $ tại các điểm đầu mút và các điểm cực trị trong đoạn $[0, 3]$:
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     f(0) = -0^3 + 3(0) = 0
     $$
   - Tại $ x = 3 $:
     $$
     f(3) = -(3)^3 + 3(3) = -27 + 9 = -18
     $$
   - Tại $ x = 1 $ (đã tính ở phần b):
     $$
     f(1) = 2
     $$

2. So sánh các giá trị:
   - Giá trị lớn nhất: $ \max \{ 0, -18, 2 \} = 2 $
   - Giá trị nhỏ nhất: $ \min \{ 0, -18, 2 \} = -18 $

3. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
   $$
   2 + (-18) = -16
   $$

Kết luận:
- Hàm số $ f(x) = -x^3 + 3x $ đạt cực tiểu tại $ x = -1 $ với giá trị $ f(-1) = -2 $.
- Hàm số đạt cực đại tại $ x = 1 $ với giá trị $ f(1) = 2 $.
- Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0, 3]$ là $-16$.

Đáp số: 
- Giá trị cực tiểu: $ -2 $ tại $ x = -1 $
- Giá trị cực đại: $ 2 $ tại $ x = 1 $
- Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn $[0, 3]$: $ -16 $