giải giúp e ạ

Câu 56: Để viết phương trình mặt cầu có tâm $I(2;1;-4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha): x-2y+2z-7=0$, ta cần xác định bán kính của mặt cầu. Bán kính này chính là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(\alpha)$. Công thức tính khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng công thức trên với $I(2, 1, -4)$ và mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + 2z - 7 = 0$, ta có: - $A = 1$, $B = -2$, $C = 2$, $D = -7$ - $x_0 = 2$, $y_0 = 1$, $z_0 = -4$ Tính khoảng cách: \[ d = \frac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-4) - 7|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} \] \[ = \frac{|2 - 2 - 8 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ = \frac{|-15|}{3} = 5 \] Vậy bán kính của mặt cầu là $5$. Phương trình mặt cầu có tâm $I(2, 1, -4)$ và bán kính $5$ là: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 5^2 \] Khai triển phương trình trên: \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] \[ (y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1 \] \[ (z + 4)^2 = z^2 + 8z + 16 \] Cộng các biểu thức lại: \[ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 8z + 16 = 25 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 8z + 21 = 25 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 8z - 4 = 0 \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 8z - 4 = 0 \] Đáp án đúng là C. Câu 57: Để tìm phương trình của mặt cầu có tâm $I(3;1;0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 1 = 0$, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách từ tâm $I(3;1;0)$ đến mặt phẳng $(P)$: Công thức tính khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng công thức trên với $A = 2$, $B = 2$, $C = -1$, $D = 1$, và $I(3;1;0)$: \[ d = \frac{|2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 2 + 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{9}{3} = 3 \] Vậy, khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là 3. 2. Xác định bán kính của mặt cầu: Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$, nên bán kính của mặt cầu chính là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$, tức là $R = 3$. 3. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu có tâm $I(a, b, c)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Thay $a = 3$, $b = 1$, $c = 0$, và $R = 3$ vào phương trình trên, ta được: \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 3^2 \] \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 9 \] Do đó, phương trình của mặt cầu là $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 9$. Vậy đáp án đúng là D. Câu 58: Để viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S): Mặt cầu (S) có đường kính AB, do đó tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi tâm là \( I \). Tọa độ của \( I \) là: \[ I \left( \frac{6 + (-4)}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{-5 + 7}{2} \right) = I(1, 1, 1) \] Bán kính \( R \) của mặt cầu là nửa độ dài đoạn thẳng AB: \[ R = \frac{1}{2} \sqrt{(6 - (-4))^2 + (2 - 0)^2 + (-5 - 7)^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{10^2 + 2^2 + (-12)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{100 + 4 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{248} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{62} = \sqrt{62} \] 2. Viết phương trình mặt cầu (S): Phương trình mặt cầu (S) có tâm \( I(1, 1, 1) \) và bán kính \( R = \sqrt{62} \) là: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 62 \] 3. Tìm phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại A: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A có vectơ pháp tuyến trùng với vectơ \( \overrightarrow{IA} \). Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{IA} \) là: \[ \overrightarrow{IA} = (6 - 1, 2 - 1, -5 - 1) = (5, 1, -6) \] Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 5x - 30 + y - 2 - 6z - 30 = 0 \] \[ 5x + y - 6z - 62 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 5x + y - 6z - 62 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là \( B. (P): 5x + y - 6z - 62 = 0 \). Câu 59: Để tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(M(0;4;-2)\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\): Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 = 9 \] Từ đây, ta xác định được tâm của mặt cầu là \(I(1, 2, -4)\) và bán kính \(R = \sqrt{9} = 3\). 2. Kiểm tra điểm \(M\) có nằm trên mặt cầu không: Tính khoảng cách từ \(I\) đến \(M(0, 4, -2)\): \[ IM = \sqrt{(0-1)^2 + (4-2)^2 + (-2+4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Vì \(IM = R\), nên điểm \(M\) nằm trên mặt cầu \((S)\). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc tại điểm \(M\) chính là vectơ \(\overrightarrow{IM}\): \[ \overrightarrow{IM} = (0-1, 4-2, -2+4) = (-1, 2, 2) \] 4. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc: Phương trình mặt phẳng tiếp xúc có dạng: \[ -1(x - 0) + 2(y - 4) + 2(z + 2) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -x + 2y - 8 + 2z + 4 = 0 \implies -x + 2y + 2z - 4 = 0 \] Nhân cả hai vế với \(-1\) để có dạng chuẩn: \[ x - 2y - 2z + 4 = 0 \] 5. Kết luận: Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(M(0, 4, -2)\) là: \[ x - 2y - 2z + 4 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là \(C.~x-2y-2z+4=0\). Câu 60: Để tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm \( A(2;1;2) \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính của mặt cầu (S): Mặt cầu (S) có tâm \( I(3;2;-1) \) và đi qua điểm \( A(2;1;2) \). Bán kính \( R \) của mặt cầu là khoảng cách từ tâm \( I \) đến điểm \( A \). \[ R = \sqrt{(2-3)^2 + (1-2)^2 + (2+1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} \] 2. Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \( A \) có vectơ pháp tuyến trùng với vectơ \( \overrightarrow{IA} \). Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{IA} \) là: \[ \overrightarrow{IA} = (2-3, 1-2, 2+1) = (-1, -1, 3) \] Phương trình mặt phẳng tiếp xúc có dạng: \[ -1(x-2) - 1(y-1) + 3(z-2) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -x + 2 - y + 1 + 3z - 6 = 0 \] \[ -x - y + 3z - 3 = 0 \] Đổi dấu toàn bộ phương trình để có dạng chuẩn: \[ x + y - 3z + 3 = 0 \] 3. Kết luận: Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm \( A(2;1;2) \) là \( x + y - 3z + 3 = 0 \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~x+y-3z+3=0 \). Câu 61: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;2;-1)\) và cắt mặt phẳng \((P): x-2y+2z-2=0\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5. Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\). Công thức tính khoảng cách từ điểm \(I(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng công thức trên với \(I(-1, 2, -1)\) và mặt phẳng \((P): x - 2y + 2z - 2 = 0\), ta có: \[ d = \frac{|-1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} \] \[ = \frac{|-1 - 4 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ = \frac{|-9|}{3} = 3 \] Bước 2: Tính bán kính của mặt cầu \((S)\). Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \((S)\). Theo đề bài, mặt cầu cắt mặt phẳng \((P)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5. Ta có công thức liên hệ giữa bán kính mặt cầu \(R\), khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng \(d\), và bán kính đường tròn giao tuyến \(r\): \[ r^2 = R^2 - d^2 \] Với \(r = 5\) và \(d = 3\), ta có: \[ 5^2 = R^2 - 3^2 \] \[ 25 = R^2 - 9 \] \[ R^2 = 34 \] Bước 3: Viết phương trình mặt cầu \((S)\). Phương trình mặt cầu có tâm \(I(-1, 2, -1)\) và bán kính \(R = \sqrt{34}\) là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 34 \] Do đó, phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 34 \] Kết luận: Đáp án đúng là \(D\). Câu 62: Để tìm phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định bán kính của mặt cầu. Mặt cầu (S) có tâm $I(1;2;1)$ và cắt mặt phẳng $(P):~2x-y+2z+7=0$ theo một đường tròn có đường kính bằng 8. 1. Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$: Công thức tính khoảng cách từ điểm $I(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Thay $I(1, 2, 1)$ vào, ta có: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 2 + 7|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|9|}{3} = 3 \] 2. Tính bán kính của mặt cầu (S): Đường tròn giao tuyến có đường kính bằng 8, do đó bán kính của đường tròn là $R_{\text{tròn}} = \frac{8}{2} = 4$. Theo định lý Pythagore trong không gian, bán kính $R$ của mặt cầu (S) liên hệ với khoảng cách $d$ từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ và bán kính $R_{\text{tròn}}$ của đường tròn giao tuyến bởi: \[ R^2 = d^2 + R_{\text{tròn}}^2 \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Vậy bán kính $R$ của mặt cầu là $R = \sqrt{25} = 5$. 3. Viết phương trình mặt cầu (S): Phương trình mặt cầu có tâm $I(1, 2, 1)$ và bán kính $R = 5$ là: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 25 \] Do đó, phương trình mặt cầu (S) là phương án D: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 25$. Câu 63: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các điều kiện của mặt cầu (S) và mối quan hệ với mặt phẳng (Oxz). 1. Điều kiện tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz): Mặt cầu (S) có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = 1$. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có nghĩa là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng (Oxz) bằng bán kính của mặt cầu. Mặt phẳng (Oxz) có phương trình $y = 0$. Do đó, khoảng cách từ điểm $I(a; b; c)$ đến mặt phẳng (Oxz) là $|b|$. Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz), ta có: \[ |b| = 1 \] 2. Phân tích các khẳng định: - Khẳng định A: $|o| = 1$. Khẳng định này không có ý nghĩa rõ ràng trong ngữ cảnh của bài toán, vì không có định nghĩa nào cho $|o|$ trong bài toán này. - Khẳng định B: $a + b + c = 1$. Không có thông tin nào trong bài toán cho thấy tổng $a + b + c$ phải bằng 1. Do đó, khẳng định này không nhất thiết đúng. - Khẳng định C: $H = 1$. Tương tự như khẳng định A, $H$ không được định nghĩa rõ ràng trong bài toán này, nên không thể xác định tính đúng sai của khẳng định này. - Khẳng định D: $|k| = 1$. Tương tự như khẳng định A và C, $k$ không được định nghĩa rõ ràng trong bài toán này, nên không thể xác định tính đúng sai của khẳng định này. 3. Kết luận: Dựa trên phân tích trên, chỉ có điều kiện $|b| = 1$ là điều kiện rõ ràng và đúng với bài toán. Tuy nhiên, không có khẳng định nào trong các lựa chọn A, B, C, D tương ứng với điều kiện này. Có thể có sự nhầm lẫn trong việc diễn đạt các khẳng định. Nếu cần chọn một khẳng định dựa trên thông tin đã phân tích, ta có thể nói rằng điều kiện $|b| = 1$ là điều kiện đúng duy nhất có thể xác định từ bài toán.