chọn câu hỏi

BÀI 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là trong tam giác vuông. Để hiểu rõ hơn về tỉ số lượng giác của góc nhọn, chúng ta sẽ xem xét một tam giác vuông và định nghĩa các tỉ số lượng giác cơ bản. Giả sử chúng ta có một tam giác vuông \( \triangle ABC \) với góc vuông tại \( C \). Góc nhọn cần xét là \( \angle A \). Các tỉ số lượng giác của góc nhọn \( \angle A \): 1. Sin (sinus) của góc \( A \): - Định nghĩa: Sin của góc \( A \) là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc \( A \) và độ dài cạnh huyền. - Công thức: \( \sin A = \frac{\text{độ dài cạnh đối diện}}{\text{độ dài cạnh huyền}} = \frac{BC}{AB} \). 2. Cosin (cosinus) của góc \( A \): - Định nghĩa: Cosin của góc \( A \) là tỉ số giữa độ dài cạnh kề với góc \( A \) và độ dài cạnh huyền. - Công thức: \( \cos A = \frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh huyền}} = \frac{AC}{AB} \). 3. Tangent (tang) của góc \( A \): - Định nghĩa: Tang của góc \( A \) là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc \( A \) và độ dài cạnh kề với góc \( A \). - Công thức: \( \tan A = \frac{\text{độ dài cạnh đối diện}}{\text{độ dài cạnh kề}} = \frac{BC}{AC} \). 4. Cotangent (cotang) của góc \( A \): - Định nghĩa: Cotang của góc \( A \) là tỉ số giữa độ dài cạnh kề với góc \( A \) và độ dài cạnh đối diện với góc \( A \). - Công thức: \( \cot A = \frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh đối diện}} = \frac{AC}{BC} \). Lưu ý: - Các tỉ số lượng giác này chỉ áp dụng cho góc nhọn trong tam giác vuông. - Để tính toán các tỉ số lượng giác, cần biết độ dài của các cạnh trong tam giác vuông. - Các tỉ số lượng giác giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông và các ứng dụng thực tế khác. Hy vọng với các định nghĩa và công thức trên, bạn có thể hiểu rõ hơn về tỉ số lượng giác của góc nhọn và áp dụng chúng vào các bài toán cụ thể. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định độ dài của cạnh huyền $BC$ trong tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A. Sử dụng định lý Pythagore, ta có: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5~cm. \] Bây giờ, ta sẽ tính các giá trị lượng giác của góc $B$ và $C$. 1. Tính $\sinh B$: \[ \sinh B = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}. \] Khẳng định A: $\sinh B = \frac{4}{5}$ là đúng. 2. Tính $\cos B$: \[ \cos B = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}. \] Khẳng định B: $\cos B = \frac{3}{5}$ là đúng. 3. Tính $\tan C$: Góc $C$ là góc phụ với góc $B$ trong tam giác vuông, do đó: \[ \tan C = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}. \] Khẳng định C: $\tan C = \frac{3}{4}$ là đúng. 4. Tính $\cot B$: \[ \cot B = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}. \] Khẳng định D: $\cot B = \frac{3}{5}$ là sai. Vậy khẳng định sai là D: $\cot B = \frac{3}{5}$. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định giá trị của sin B trong tam giác vuông ABC vuông tại A. Trong tam giác vuông, sin của một góc nhọn được định nghĩa là tỉ số giữa cạnh đối diện với góc đó và cạnh huyền. Do đó, ta có: - Trong tam giác ABC vuông tại A, sin B = $\frac{AC}{BC}$. Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét từng lựa chọn để xác định lựa chọn nào không bằng sin B: A. $\frac{AH}{AB}$: Đây là tỉ số giữa đường cao AH và cạnh AB. Không phải là định nghĩa của sin B. B. $\cos C$: Trong tam giác vuông, $\cos C$ là tỉ số giữa cạnh kề với góc C và cạnh huyền, tức là $\frac{AB}{BC}$. Không phải là định nghĩa của sin B. C. $\frac{AC}{BC}$: Đây chính là định nghĩa của sin B. D. $\frac{AH}{BC}$: Đây là tỉ số giữa đường cao AH và cạnh huyền BC. Không phải là định nghĩa của sin B. Vậy, các lựa chọn không bằng sin B là A, B và D. Trong đó, lựa chọn B là $\cos C$ không liên quan trực tiếp đến định nghĩa của sin B trong tam giác vuông ABC. Do đó, đáp án đúng là B. $\cos C$. Câu 3: Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), ta có các hệ thức lượng trong tam giác vuông như sau: 1. Hệ thức với cạnh góc vuông và cạnh huyền: - \( \sin C = \frac{AC}{BC} \) - \( \cos C = \frac{AB}{BC} \) - \( \tan B = \frac{AC}{AB} \) - \( \cot C = \frac{AB}{AC} \) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng hệ thức đã cho: A. \( AB = BC \cdot \cos C \) - Theo định nghĩa của cosin trong tam giác vuông, \( \cos C = \frac{AB}{BC} \). - Suy ra, \( AB = BC \cdot \cos C \) là đúng. B. \( AB = AC \cdot \tan B \) - Theo định nghĩa của tang trong tam giác vuông, \( \tan B = \frac{AC}{AB} \). - Suy ra, \( AB = \frac{AC}{\tan B} \), không phải \( AB = AC \cdot \tan B \). Do đó, hệ thức này sai. C. \( AB = BC \cdot \sin C \) - Theo định nghĩa của sin trong tam giác vuông, \( \sin C = \frac{AC}{BC} \). - Suy ra, \( AC = BC \cdot \sin C \), không phải \( AB = BC \cdot \sin C \). Do đó, hệ thức này sai. D. \( AB = AC \cdot \cot C \) - Theo định nghĩa của cotang trong tam giác vuông, \( \cot C = \frac{AB}{AC} \). - Suy ra, \( AB = AC \cdot \cot C \) là đúng. Kết luận: Hệ thức đúng là A. \( AB = BC \cdot \cos C \) và D. \( AB = AC \cdot \cot C \). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác vuông. Cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), ta có: - \( BC = a \) là cạnh huyền. - \( AB = c \) là cạnh kề với góc \( \widehat{ABC} = 50^\circ \). - \( AC = b \) là cạnh đối với góc \( \widehat{ABC} = 50^\circ \). Ta cần tìm mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác vuông này. 1. Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông: \[ \sin \widehat{ABC} = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{b}{a} \] Từ đó, ta có: \[ b = a \cdot \sin 50^\circ \] 2. Sử dụng định nghĩa của tan trong tam giác vuông: \[ \tan \widehat{ABC} = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{b}{c} \] Từ đó, ta có: \[ b = c \cdot \tan 50^\circ \] 3. Sử dụng định nghĩa của cot trong tam giác vuông: \[ \cot \widehat{ABC} = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{c}{b} \] Từ đó, ta có: \[ c = b \cdot \cot 50^\circ \] Dựa vào các công thức trên, ta có thể thấy rằng khẳng định đúng là: - \( B.~b = a \cdot \tan 50^\circ \) Vậy, đáp án đúng là \( B \). Câu 5: Để tìm tỉ số lượng giác \(\sin B\) trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), ta cần xác định các cạnh liên quan đến góc \(B\). Trong tam giác vuông, \(\sin\) của một góc nhọn được định nghĩa là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh huyền. - Cạnh đối diện với góc \(B\) là cạnh \(AC\). - Cạnh huyền là cạnh \(BC\). Do đó, \(\sin B = \frac{\text{cạnh đối diện}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}\). Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13} \] Vậy, tỉ số lượng giác \(\sin B\) có giá trị bằng \(\frac{12}{13}\). Đáp án đúng là: \(C.~\frac{12}{13}\). Câu 6: Để tính tỉ số lượng giác \(\cot C\) của tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), ta cần xác định các cạnh của tam giác và áp dụng định nghĩa của \(\cot\). 1. Xác định cạnh còn lại của tam giác: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 10\) cm và \(AC = 6\) cm. Ta cần tìm độ dài cạnh \(AB\). Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \(ABC\): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay số vào: \[ 10^2 = AB^2 + 6^2 \] \[ 100 = AB^2 + 36 \] \[ AB^2 = 64 \] \[ AB = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \] 2. Tính tỉ số lượng giác \(\cot C\): Trong tam giác vuông, \(\cot C\) được định nghĩa là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc \(C\). Cạnh kề góc \(C\) là \(AC\) và cạnh đối góc \(C\) là \(AB\). \[ \cot C = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] Vậy, tỉ số lượng giác \(\cot C\) là \(\frac{3}{4}\).