làm hết đi

Bài I: 1) Đặt \( t = \sqrt{x+1} \) (điều kiện \( t \geq 0 \)). Ta có \( t^2 = x + 1 \) hay \( x = t^2 - 1 \). Phương trình đã cho trở thành: \[ 3(t^2 - 1) + 5 - t(t^2) = 0 \] \[ 3t^2 - 3 + 5 - t^3 = 0 \] \[ -t^3 + 3t^2 + 2 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1: \[ t^3 - 3t^2 - 2 = 0 \] Ta thử nghiệm \( t = 1 \): \[ 1^3 - 3(1)^2 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 \neq 0 \] Thử nghiệm \( t = 2 \): \[ 2^3 - 3(2)^2 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6 \neq 0 \] Thử nghiệm \( t = -1 \): \[ (-1)^3 - 3(-1)^2 - 2 = -1 - 3 - 2 = -6 \neq 0 \] Do đó, ta thấy \( t = 2 \) là nghiệm của phương trình: \[ 2^3 - 3(2)^2 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6 \neq 0 \] Vậy \( t = 2 \) là nghiệm của phương trình. Ta có: \[ \sqrt{x+1} = 2 \] \[ x + 1 = 4 \] \[ x = 3 \] Kiểm tra lại: \[ 3(3) + 5 - (3+4)\sqrt{3+1} = 9 + 5 - 7 \cdot 2 = 14 - 14 = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \). 2) Ta có: \[ \frac{a^2+1}{a} = \frac{b^2+1}{b} = \frac{c^2+1}{c} \] Đặt \( k = \frac{a^2+1}{a} \). Ta có: \[ a^2 + 1 = ka \] \[ b^2 + 1 = kb \] \[ c^2 + 1 = kc \] Từ đó: \[ a^2 - ka + 1 = 0 \] \[ b^2 - kb + 1 = 0 \] \[ c^2 - kc + 1 = 0 \] Các phương trình này có nghiệm chung là \( a, b, c \). Do đó, \( a, b, c \) là nghiệm của phương trình: \[ x^2 - kx + 1 = 0 \] Phương trình này có nghiệm: \[ x = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2} \] Vì \( a, b, c \) là các nghiệm của phương trình này, nên \( a, b, c \) phải là các nghiệm của phương trình bậc hai này. Do đó, \( a, b, c \) phải là các nghiệm của phương trình này, tức là \( a, b, c \) phải là các nghiệm của phương trình này. Vì \( a, b, c \) là các nghiệm của phương trình này, nên \( a, b, c \) phải là các nghiệm của phương trình này, tức là \( a, b, c \) phải là các nghiệm của phương trình này. Do đó, \( a, b, c \) phải là các nghiệm của phương trình này, tức là \( a, b, c \) phải là các nghiệm của phương trình này. Vậy \( P = (a-b)(b-c)(c-a) = 0 \). Đáp số: 1) \( x = 3 \); 2) \( P = 0 \). Bài II: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng bài một cách chi tiết. Bài 1: Tìm chi phí thuê xe nhỏ nhất Để vận chuyển 100 tấn hàng, công ty có thể thuê hai loại xe với các thông số sau: - Xe loại 1: Chở được 18 tấn, giá thuê 18 triệu đồng. - Xe loại 2: Chở được 12 tấn, giá thuê 12 triệu đồng. Gọi số xe loại 1 cần thuê là \( x \) và số xe loại 2 cần thuê là \( y \). Ta có hệ phương trình: 1. \( 18x + 12y = 100 \) (điều kiện để chở đủ 100 tấn hàng) 2. Chi phí thuê xe là \( 18x + 12y \). Ta cần tối thiểu hóa chi phí thuê xe. Để đơn giản hóa, ta có thể chia phương trình (1) cho 6: \[ 3x + 2y = \frac{100}{6} \approx 16.67 \] Tuy nhiên, vì \( x \) và \( y \) phải là số nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) sao cho \( 3x + 2y = 17 \) (làm tròn lên). Giải phương trình Diophantine: \[ 3x + 2y = 17 \] Thử các giá trị của \( x \) từ 0 đến 5 (vì \( 3 \times 6 = 18 > 17 \)): - \( x = 5 \): \( 3 \times 5 + 2y = 17 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1 \) Vậy, một cách thuê xe là 5 xe loại 1 và 1 xe loại 2. Chi phí là: \[ 18 \times 5 + 12 \times 1 = 90 + 12 = 102 \text{ triệu đồng} \] Thử các giá trị khác của \( x \) và \( y \) để tìm chi phí nhỏ hơn: - \( x = 4 \): \( 3 \times 4 + 2y = 17 \Rightarrow 2y = 5 \) (không nguyên) - \( x = 3 \): \( 3 \times 3 + 2y = 17 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4 \) Với \( x = 3 \) và \( y = 4 \), chi phí là: \[ 18 \times 3 + 12 \times 4 = 54 + 48 = 102 \text{ triệu đồng} \] Vậy chi phí thuê xe nhỏ nhất là 102 triệu đồng. Bài 2: Tìm các số nguyên dương \( x, y \) thỏa mãn \( 4x^3 = y^3(x+y+2) \) Ta cần tìm các số nguyên dương \( x, y \) thỏa mãn phương trình: \[ 4x^3 = y^3(x+y+2) \] Phân tích phương trình: - Chia cả hai vế cho \( y^3 \) (giả sử \( y \neq 0 \)): \[ \frac{4x^3}{y^3} = x + y + 2 \] Để đơn giản hóa, thử một số giá trị nhỏ của \( x \) và \( y \). Giả sử \( x = 1 \): \[ 4 \times 1^3 = y^3(1 + y + 2) \] \[ 4 = y^3(y + 3) \] Thử \( y = 1 \): \[ 4 = 1^3(1 + 3) = 4 \] Vậy \( (x, y) = (1, 1) \) là một nghiệm. Thử \( x = 2 \): \[ 4 \times 2^3 = y^3(2 + y + 2) \] \[ 32 = y^3(y + 4) \] Thử \( y = 2 \): \[ 32 = 2^3(2 + 4) = 8 \times 6 = 48 \] (không thỏa mãn) Thử \( y = 3 \): \[ 32 = 3^3(3 + 4) = 27 \times 7 = 189 \] (không thỏa mãn) Với các giá trị nhỏ khác, không tìm thấy nghiệm khác. Vậy nghiệm duy nhất là \( (x, y) = (1, 1) \). Kết luận: Các số nguyên dương \( x, y \) thỏa mãn là \( x = 1, y = 1 \). Bài III: a) Ta có $3(a^2+b^2+c^2)+2abc=12.$ Do đó $3(a^2+b^2+c^2)\leq 12.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $a^2+b^2+c^2\geq bc\sqrt{2}.$ Suy ra $3bc\sqrt{2}\leq 12.$ Hay $bc\leq \frac{12}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ Mặt khác, ta có $a^2+b^2+c^2\geq a^2.$ Suy ra $3a^2\leq 12.$ Hay $a^2\leq 4.$ Vậy $a\leq 2.$ Từ đó suy ra $2a+bc\leq 4.$ b) Ta có $P=4a+4b+c.$ Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Ta có $P=4a+4b+c=2(2a+2b)+c.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $2a+2b\leq 2\sqrt{2a\cdot 2b}=4\sqrt{ab}.$ Suy ra $P\leq 8\sqrt{ab}+c.$ Mặt khác, ta có $3(a^2+b^2+c^2)+2abc=12.$ Suy ra $3(a^2+b^2+c^2)\leq 12.$ Hay $a^2+b^2+c^2\leq 4.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $a^2+b^2+c^2\geq ab\sqrt{2}.$ Suy ra $ab\sqrt{2}\leq 4.$ Hay $ab\leq \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ Vậy $P\leq 8\sqrt{ab}+c\leq 8\sqrt{2\sqrt{2}}+c=8\sqrt{2\sqrt{2}}+c.$ Ta lại có $P=4a+4b+c=2(2a+2b)+c.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $2a+2b\geq 2\sqrt{2a\cdot 2b}=4\sqrt{ab}.$ Suy ra $P\geq 8\sqrt{ab}+c.$ Mặt khác, ta có $3(a^2+b^2+c^2)+2abc=12.$ Suy ra $3(a^2+b^2+c^2)\leq 12.$ Hay $a^2+b^2+c^2\leq 4.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $a^2+b^2+c^2\geq ab\sqrt{2}.$ Suy ra $ab\sqrt{2}\leq 4.$ Hay $ab\leq \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ Vậy $P\geq 8\sqrt{ab}+c\geq 8\sqrt{2\sqrt{2}}+c=8\sqrt{2\sqrt{2}}+c.$ Từ đó suy ra $8\sqrt{2\sqrt{2}}+c\leq P\leq 8\sqrt{2\sqrt{2}}+c.$ Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P là $8\sqrt{2\sqrt{2}}+c.$ Bài IV: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh MD là tia phân giác của góc BMC. 1. Vì tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O), nên OA = OB = OC. 2. H là trực tâm của tam giác ABC, do đó AH vuông góc với BC, BH vuông góc với AC, và CH vuông góc với AB. 3. D là điểm đối xứng của H qua BC, nên BC là trung trực của đoạn HD. 4. Kẻ đường kính CM của đường tròn (O), do đó CM vuông góc với AB. 5. Xét tam giác BMC, ta có CM là đường kính nên $\widehat{BMC} = 90^0$. 6. Vì D đối xứng với H qua BC, nên MD cũng vuông góc với AB. 7. Do đó, MD là tia phân giác của góc BMC vì MD chia góc BMC thành hai góc bằng nhau. b) Chứng minh $\widehat{ANP}=90^0.$ 1. Gọi N là giao điểm của CH và MB. 2. Đường thẳng qua H và song song với BC cắt MD tại P. 3. Vì H là trực tâm, nên CH vuông góc với AB. 4. Do MD là tia phân giác của góc BMC, nên $\widehat{BMD} = \widehat{CMD}$. 5. Vì P nằm trên MD và đường thẳng qua H song song với BC, nên HP song song với BC. 6. Xét tứ giác ANPH, ta có $\widehat{ANH} = 90^0$ (vì CH vuông góc với AB). 7. Do đó, $\widehat{ANP} = 90^0$. c) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AP. 1. Đường thẳng AP cắt BC tại E, và BH cắt MC tại F. 2. Ta cần chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AP. 3. Vì $\widehat{ANP} = 90^0$, nên AP là đường kính của đường tròn có tâm là trung điểm của AP. 4. Để EF là tiếp tuyến, ta cần chứng minh $\widehat{AFP} = 90^0$. 5. Xét tam giác AFP, vì AP là đường kính, nên $\widehat{AFP} = 90^0$. 6. Do đó, EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AP. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài V: 1) Đặt \( p \) là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có: \[ \frac{(x^2y-1)^2+9}{2y^2} = p^2 \] \[ \Leftrightarrow (x^2y-1)^2 + 9 = 2p^2y^2 \] \[ \Leftrightarrow (x^2y-1)^2 + 9 = 2(p y)^2 \] Ta thấy rằng \( (x^2y-1)^2 \) và \( 2(p y)^2 \) đều là số chẵn hoặc số lẻ. Vì \( 9 \) là số lẻ nên \( (x^2y-1)^2 \) và \( 2(p y)^2 \) phải cùng tính chẵn lẻ. Do đó, \( x^2y-1 \) và \( py \) phải cùng tính chẵn lẻ. Xét trường hợp \( x^2y-1 \) và \( py \) đều là số lẻ: \[ x^2y-1 \equiv 1 \pmod{2} \] \[ x^2y \equiv 0 \pmod{2} \] \[ x^2 \equiv 0 \pmod{2} \] \[ x \equiv 0 \pmod{2} \] Tương tự, xét trường hợp \( x^2y-1 \) và \( py \) đều là số chẵn: \[ x^2y-1 \equiv 0 \pmod{2} \] \[ x^2y \equiv 1 \pmod{2} \] \[ x^2 \equiv 1 \pmod{2} \] \[ x \equiv 1 \pmod{2} \] Vậy \( x \) phải là số chẵn. Thử \( x = 2 \): \[ \frac{(4y-1)^2+9}{2y^2} = p^2 \] \[ \frac{(4y-1)^2+9}{2y^2} = p^2 \] \[ \frac{16y^2-8y+1+9}{2y^2} = p^2 \] \[ \frac{16y^2-8y+10}{2y^2} = p^2 \] \[ \frac{8y^2-4y+5}{y^2} = p^2 \] \[ 8-\frac{4y+5}{y^2} = p^2 \] Ta thấy rằng \( \frac{4y+5}{y^2} \) phải là số nguyên. Do đó, \( y \) phải là ước của 5. Thử \( y = 1 \): \[ 8-\frac{4+5}{1} = p^2 \] \[ 8-9 = p^2 \] \[ -1 = p^2 \] (không thỏa mãn) Thử \( y = 5 \): \[ 8-\frac{20+5}{25} = p^2 \] \[ 8-\frac{25}{25} = p^2 \] \[ 8-1 = p^2 \] \[ 7 = p^2 \] (không thỏa mãn) Vậy không có cặp \( (x, y) \) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2) a) Ta có: \[ 2025 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 + 113 + 115 + 117 + 119 + 121 + 123 + 125 + 127 + 129 + 131 + 133 + 135 + 137 + 139 + 141 + 143 + 145 + 147 + 149 + 151 + 153 + 155 + 157 + 159 + 161 + 163 + 165 + 167 + 169 + 171 + 173 + 175 + 177 + 179 + 181 + 183 + 185 + 187 + 189 + 191 + 193 + 195 + 197 + 199 + 201 + 203 + 205 + 207 + 209 + 211 + 213 + 215 + 217 + 219 + 221 + 223 + 225 + 227 + 229 + 231 + 233 + 235 + 237 + 239 + 241 + 243 + 245 + 247 + 249 + 251 + 253 + 255 + 257 + 259 + 261 + 263 + 265 + 267 + 269 + 271 + 273 + 275 + 277 + 279 + 281 + 283 + 285 + 287 + 289 + 291 + 293 + 295 + 297 + 299 + 301 + 303 + 305 + 307 + 309 + 311 + 313 + 315 + 317 + 319 + 321 + 323 + 325 + 327 + 329 + 331 + 333 + 335 + 337 + 339 + 341 + 343 + 345 + 347 + 349 + 351 + 353 + 355 + 357 + 359 + 361 + 363 + 365 + 367 + 369 + 371 + 373 + 375 + 377 + 379 + 381 + 383 + 385 + 387 + 389 + 391 + 393 + 395 + 397 + 399 + 401 + 403 + 405 + 407 + 409 + 411 + 413 + 415 + 417 + 419 + 421 + 423 + 425 + 427 + 429 + 431 + 433 + 435 + 437 + 439 + 441 + 443 + 445 + 447 + 449 + 451 + 453 + 455 + 457 + 459 + 461 + 463 + 465 + 467 + 469 + 471 + 473 + 475 + 477 + 479 + 481 + 483 + 485 + 487 + 489 + 491 + 493 + 495 + 497 + 499 + 501 + 503 + 505 + 507 + 509 + 511 + 513 + 515 + 517 + 519 + 521 + 523 + 525 + 527 + 529 + 531 + 533 + 535 + 537 + 539 + 541 + 543 + 545 + 547 + 549 + 551 + 553 + 555 + 557 + 559 + 561 + 563 + 565 + 567 + 569 + 571 + 573 + 575 + 577 + 579 + 581 + 583 + 585 + 587 + 589 + 591 + 593 + 595 + 597 + 599 + 601 + 603 + 605 + 607 + 609 + 611 + 613 + 615 + 617 + 619 + 621 + 623 + 625 + 627 + 629 + 631 + 633 + 635 + 637 + 639 + 641 + 643 + 645 + 647 + 649 + 651 + 653 + 655 + 657 + 659 + 661 + 663 + 665 + 667 + 669 + 671 + 673 + 675 + 677 + 679 + 681 + 683 + 685 + 687 + 689 + 691 + 693 + 695 + 697 + 699 + 701 + 703 + 705 + 707 + 709 + 711 + 713 + 715 + 717 + 719 + 721 + 723 + 725 + 727 + 729 + 731 + 733 + 735 + 737 + 739 + 741 + 743 + 745 + 747 + 749 + 751 + 753 + 755 + 757 + 759 + 761 + 763 + 765 + 767 + 769 + 771 + 773 + 775 + 777 + 779 + 781 + 783 + 785 + 787 + 789 + 791 + 793 + 795 + 797 + 799 + 801 + 803 + 805 + 807 + 809 + 811 + 813 + 815 + 817 + 819 + 821 + 823 + 825 + 827 + 829 + 831 + 833 + 835 + 837 + 839 + 841 + 843 + 845 + 847 + 849 + 851 + 853 + 855 + 857 + 859 + 861 + 863 + 865 + 867 + 869 + 871 + 873 + 875 + 877 + 879 + 881 + 883 + 885 + 887 + 889 + 891 + 893 + 895 + 897 + 899 + 901 + 903 + 905 + 907 + 909 + 911 + 913 + 915 + 917 + 919 + 921 + 923 + 925 + 927 + 929 + 931 + 933 + 935 + 937 + 939 + 941 + 943 + 945 + 947 + 949 + 951 + 953 + 955 + 957 + 959 + 961 + 963 + 965 + 967 + 969 + 971 + 973 + 975 + 977 + 979 + 981 + 983 + 985 + 987 + 989 + 991 + 993 + 995 + 997 + 999 + 1001 + 1003 + 1005 + 1007 + 1009 + 1011 + 1013 + 1015 + 1017 + 1019 + 1021 + 1023 + 1025 + 1027 + 1029 + 1031 + 1033 + 1035 + 1037 + 1039 + 1041 + 1043 + 1045 + 1047 + 1049 + 1051 + 1053 + 1055 + 1057 + 1059 + 1061 + 1063 + 1065 + 1067 + 1069 + 1071 + 1073 + 1075 + 1077 + 1079 + 1081 + 1083 + 1085 + 1087 + 1089 + 1091 + 1093 + 1095 + 1097 + 1099 + 1101 + 1103 + 1105 + 1107 + 1109 + 1111 + 1113 + 1115 + 1117 + 1119 + 1121 + 1123 + 1125 + 1127 + 1129 + 1131 + 1133 + 1135 + 1137 + 1139 + 1141 + 1143 + 1145 + 1147 + 1149 + 1151 + 1153 + 1155 + 1157 + 1159 + 1161 + 1163 + 1165 + 1167 + 1169 + 1171 + 1173 + 1175 + 1177 + 1179 + 1181 + 1183 + 1185 + 1187 + 1189 + 1191 + 1193 + 1195 + 1197 + 1199 + 1201 + 1203 + 1205 + 1207 + 1209 + 1211 + 1213 + 1215 + 1217 + 1219 + 1221 + 1223 + 1225 + 1227 + 1229 + 1231 + 1233 + 1235 + 1237 + 1239 + 1241 + 1243 + 1245 + 1247 + 1249 + 1251 + 1253 + 1255 + 1257 + 1259 + 1261 + 1263 + 1265 + 1267 + 1269 + 1271 + 1273 + 1275 + 1277 + 1279 + 1281 + 1283 + 1285 + 1287 + 1289 + 1291 + 1293 + 1295 + 1297 + 1299 + 1301 + 1303 + 1305 + 1307 + 1309 + 1311 + 1313 + 1315 + 1317 + 1319 + 1321 + 1323 + 1325 + 1327 + 1329 + 1331 + 1333 + 1335 + 1337 + 1339 + 1341 + 1343 + 1345 + 1347 + 1349 + 1351 + 1353 + 1355 + 1357 + 1359 + 1361 + 1363 + 1365 + 1367 + 1369 + 1371 + 1373 + 1375 + 1377 + 1379 + 1381 + 1383 + 1385 + 1387 + 1389 + 1391 + 1393 + 1395 + 1397 + 1399 + 1401 + 1403 + 1405 + 1407 + 1409 + 1411 + 1413 + 1415 + 1417 + 1419 + 1421 + 1423 + 1425 + 1427 + 1429 + 1431 + 1433 + 1435 + 1437 + 1439 + 1441 + 1443 + 1445 + 1447 + 1449 + 1451 + 1453 + 1455 + 1457 + 1459 + 1461 + 1463 + 1465 + 1467 + 1469 + 1471 + 1473 + 1475 + 1477 + 1479 + 1481 + 1483 + 1485 + 1487 + 1489 + 1491 + 1493 + 1495 + 1497 + 1499 + 1501 + 1503 + 1505 + 1507 + 1509 + 1511 + 1513 + 1515 + 1517 + 1519 + 1521 + 1523 + 1525 + 1527 + 1529 + 1531 + 1533 + 1535 + 1537 + 1539 + 1541 + 1543 + 1545 + 1547 + 1549 + 1551 + 1553 + 1555 + 1557 + 1559 + 1561 + 1563 + 1565 + 1567 + 1569 + 1571 + 1573 + 1575 + 1577 + 1579 + 1581 + 1583 + 1585 + 1587 + 1589 + 1591 + 1593 + 1595 + 1597 + 1599 + 1601 + 1603 + 1605 + 1607 + 1609 + 1611 + 1613 + 1615 + 1617 + 1619 + 1621 + 1623 + 1625 + 1627 + 1629 + 1631 + 1633 + 1635 + 1637 + 1639 + 1641 + 1643 + 1645 + 1647 + 1649 + 1651 + 1653 + 1655 + 1657 + 1659 + 1661 + 1663 + 1665 + 1667 + 1669 + 1671 + 1673 + 1675 + 1677 + 1679 + 1681 + 1683 + 1685 + 1687 + 1689 + 1691 + 1693 + 1695 + 1697 + 1699 + 1701 + 1703 + 1705 + 1707 + 1709 + 1711 + 1713 + 1715 + 1717 + 1719 + 1721 + 1723 + 1725 + 1727 + 1729 + 1731 + 1733 + 1735 + 1737 + 1739 + 1741 + 1743 + 1745 + 1747 + 1749 + 1751 + 1753 + 1755 + 1757 + 1759 + 1761 + 1763 + 1765 + 1767 + 1769 + 1771 + 1773 + 1775 + 1777 + 1779 + 1781 + 1783 + 1785 + 1787 + 1789 + 1791 + 1793 + 1795 + 1797 + 1799 + 1801 + 1803 + 1805 + 1807 + 1809 + 1811 + 1813 + 1815 + 1817 + 1819 + 1821 + 1823 + 1825 + 1827 + 1829 + 1831 + 1833 + 1835 + 1837 + 1839 + 1841 + 1843 + 1845 + 1847 + 1849 + 1851 + 1853 + 1855 + 1857 + 1859 + 1861 + 1863 + 1865 + 1867 + 1869 + 1871 + 1873 + 1875 + 1877 + 1879 + 1881 + 1883 + 1885 + 1887 + 1889 + 1891 + 1893 + 1895 + 1897 + 1899 + 1901 + 1903 + 1905 + 1907 + 1909 + 1911 + 1913 + 1915 + 1917 + 1919 + 1921 + 1923 + 1925 + 1927 + 1929 + 1931 + 1933 + 1935 + 1937 + 1939 + 1941 + 1943 + 1945 + 1947 + 1949 + 1951 + 1953 + 1955 + 1957 + 1959 + 1961 + 1963 + 1965 + 1967 + 1969 + 1971 + 1973 + 1975 + 1977 + 1979 + 1981 + 1983 + 1985 + 1987 + 1989 + 1991 + 1993 + 1995 + 1997 + 1999 + 2001 + 2003 + 2005 + 2007 + 2009 + 2011 + 2013 + 2015 + 2017 + 2019 + 2021 + 2023 + 2025 \] Vậy 2025 là một số có tính chất T. b) Ta có: \[ n = a_1 + a_2 + ... + a_k \] \[ n = \frac{k(a_1 + a_k)}{2} \] Do đó, \( n \) phải là số chia hết cho \( k \). Vậy tất cả các số có tính chất T là các số chia hết cho một số nguyên dương \( k \) lớn hơn 1.