Hộ t cái bài 4 với chúng mình Bài 4. Cho bbểu thức $A=\frac{1-\sqrt x}{1+\sqrt x}$ và $B=(\frac{15-\sqrt x}{x-25}+\frac2{\sqrt x+5}):\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-5}$ với $x\geq0,~x
e25.$,1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=\frac14.$,2) Rút gọn biểu thức $B=\frac1{\sqrt x+1}.$,4) Tìm x nguyên để A nguyên.,5)Tìm GTLN của A,6) Tìm GTNN của $B+\sqrt x.$

Question

Accepted Answer

{"userId":5424505,"userName":"Minh Phúc Đào"}

1)

$$x=\frac{1}{4}\Rightarrow A=\frac{1-\sqrt{\frac{1}{4}}}{1+\sqrt{\frac{1}{4}}}=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

2)

$$B=\left(\frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$$

$$=\frac{15-\sqrt{x}+2\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$$

$$=\frac{15-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}+5}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$

4)

$$A=\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=\frac{-\left(1+\sqrt{x}\right)+2}{1+\sqrt{x}}=-1+\frac{2}{1+\sqrt{x}}$$

Để A nguyên thì $$\frac{2}{1+\sqrt{x}}$$ là số nguyên

$$\Rightarrow1+\sqrt{x}\inƯ\left(2\right)=\left\lbrace\pm1;\pm2\right\rbrace$$

Vì $$x\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\ge0$$ nên ta có:

$$1+\sqrt{x}=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$$ (thỏa mãn)

$$1+\sqrt{x}=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1$$ (thỏa mãn)

5)

$$A=-1+\frac{2}{1+\sqrt{x}}$$

Vì $$x\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\ge0\Rightarrow1+\sqrt{x}\ge1$$

$$\Rightarrow0<\frac{2}{1+\sqrt{x}}\le2$$

$$\Rightarrow-1<-1+\frac{2}{1+\sqrt{x}}\le-1+2=1$$

$$\Rightarrow\max A=1$$

Dấu "=" xảy ra khi $$1+\sqrt{x}=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$$

6)

$$B+\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}$$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$$\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\left(\sqrt{x}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}+1}.\left(\sqrt{x}+1\right)}=2$$

$$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}\ge2-1=1$$

Dấu "=" xảy ra khi $$\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)^2=1\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$$ (thỏa mãn).