giải giúp e

Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đơn giản hóa hàm số \( f(x) \). 2. Giải phương trình \( f(x) = \frac{1}{2} \). 3. Kiểm tra các khẳng định a), b), c), d). Bước 1: Đơn giản hóa hàm số \( f(x) \) Hàm số ban đầu là: \[ y = f(x) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ 2 \sin A \cos A = \sin 2A \] Áp dụng vào hàm số: \[ f(x) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( 2 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right) \] \[ f(x) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \] Vậy hàm số đã cho chính là: \[ y = f(x) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \] Bước 2: Giải phương trình \( f(x) = \frac{1}{2} \) Ta có: \[ \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] Giải phương trình này: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] Trường hợp 1: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 2x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \] Trường hợp 2: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{3\pi}{6} + k2\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Bước 3: Kiểm tra các khẳng định Khẳng định a): Phương trình \( f(x) = \frac{1}{2} \) có tất cả 16 nghiệm phân biệt trên khoảng \([0; 10\pi]\). - Các nghiệm trong khoảng \([0; 10\pi]\) là: \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] - Số nghiệm trong khoảng \([0; 10\pi]\) là: \[ -\frac{\pi}{12} + k\pi \in [0; 10\pi] \Rightarrow k \in [ \frac{1}{12}; \frac{121}{12} ] \Rightarrow k \in [1; 10] \] \[ \frac{\pi}{4} + k\pi \in [0; 10\pi] \Rightarrow k \in [ -\frac{1}{4}; \frac{39}{4} ] \Rightarrow k \in [0; 9] \] - Tổng cộng có 10 nghiệm từ \( x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \) và 10 nghiệm từ \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), tức là 20 nghiệm. Khẳng định a) sai. Khẳng định b): Nghiệm của phương trình \( f(x) = \frac{1}{2} \) được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là bởi 4 điểm. - Các nghiệm trong khoảng \([0; 2\pi]\) là: \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] - Số nghiệm trong khoảng \([0; 2\pi]\) là: \[ -\frac{\pi}{12} + k\pi \in [0; 2\pi] \Rightarrow k \in [ \frac{1}{12}; \frac{25}{12} ] \Rightarrow k \in [1; 2] \] \[ \frac{\pi}{4} + k\pi \in [0; 2\pi] \Rightarrow k \in [ -\frac{1}{4}; \frac{7}{4} ] \Rightarrow k \in [0; 1] \] - Tổng cộng có 2 nghiệm từ \( x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \) và 2 nghiệm từ \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), tức là 4 nghiệm. Khẳng định b) đúng. Khẳng định c): Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( f(x) = \frac{1}{2} \) trên khoảng \((0; \pi)\) bằng \(\frac{7\pi}{6}\). - Các nghiệm trong khoảng \((0; \pi)\) là: \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] - Số nghiệm trong khoảng \((0; \pi)\) là: \[ -\frac{\pi}{12} + k\pi \in (0; \pi) \Rightarrow k \in ( \frac{1}{12}; \frac{13}{12} ) \Rightarrow k = 1 \] \[ \frac{\pi}{4} + k\pi \in (0; \pi) \Rightarrow k \in ( -\frac{1}{4}; \frac{3}{4} ) \Rightarrow k = 0 \] - Tổng cộng có 1 nghiệm từ \( x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \) và 1 nghiệm từ \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), tức là 2 nghiệm. - Tổng các nghiệm: \[ x_1 = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12} \] \[ x_2 = \frac{\pi}{4} \] \[ x_1 + x_2 = \frac{11\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6} \] Khẳng định c) đúng. Khẳng định d): Hàm số đã cho chính là hàm số \( y = f(x) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \). Khẳng định d) đúng. Kết luận: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = 3\sin(2x) - 5 \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định miền giá trị của hàm số \( \sin(2x) \): - Hàm số \( \sin(2x) \) có miền giá trị từ \(-1\) đến \(1\). 2. Nhân miền giá trị của \( \sin(2x) \) với 3: - Khi nhân \( \sin(2x) \) với 3, miền giá trị mới sẽ là từ \( 3 \times (-1) = -3 \) đến \( 3 \times 1 = 3 \). 3. Dịch chuyển miền giá trị này xuống 5 đơn vị: - Khi dịch chuyển miền giá trị từ \(-3\) đến \(3\) xuống 5 đơn vị, miền giá trị mới sẽ là từ \( -3 - 5 = -8 \) đến \( 3 - 5 = -2 \). Do đó, giá trị lớn nhất (M) của hàm số \( y = 3\sin(2x) - 5 \) là \(-2\) và giá trị nhỏ nhất (m) là \(-8\). 4. Tính tích \( M \cdot m \): \[ M \cdot m = (-2) \cdot (-8) = 16 \] Vậy, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3\sin(2x) - 5 \) lần lượt là \( M = -2 \) và \( m = -8 \). Khi đó, \( M \cdot m = 16 \). Đáp số: \( M \cdot m = 16 \). Câu 2: Để giải phương trình \((2\cos x - \sqrt{3})(1 + \tan x) = 0\) trong khoảng \([0; \pi]\), chúng ta sẽ giải từng phần riêng lẻ. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định cho \(\tan x\) là \(x \neq \frac{\pi}{2}\). Bước 2: Giải từng phần của phương trình Phương trình \((2\cos x - \sqrt{3})(1 + \tan x) = 0\) sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai yếu tố bằng 0: 1. \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\) 2. \(1 + \tan x = 0\) Phần 1: \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\) \[ 2\cos x = \sqrt{3} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Trong khoảng \([0; \pi]\), giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) là: \[ x = \frac{\pi}{6} \] Phần 2: \(1 + \tan x = 0\) \[ \tan x = -1 \] Trong khoảng \([0; \pi]\), giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\tan x = -1\) là: \[ x = \frac{3\pi}{4} \] Bước 3: Tổng hợp các nghiệm Các nghiệm của phương trình trong khoảng \([0; \pi]\) là: \[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{3\pi}{4} \] Bước 4: Tính tổng các nghiệm Tổng các nghiệm là: \[ \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} \] Để cộng hai phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số: \[ \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} \] \[ \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12} \] Vậy tổng các nghiệm là: \[ \frac{2\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} \] Bước 5: Xác định \(a\) và \(b\) Phân số \(\frac{11\pi}{12}\) đã ở dạng tối giản, nên \(a = 11\) và \(b = 12\). Bước 6: Tính \(T = a + b\) \[ T = 11 + 12 = 23 \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ T = 23 \] Câu 3: Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{\sin 70^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 70^\circ + \cos 20^\circ} \), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các công thức biến đổi tổng thành tích. Bước 1: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích Ta có các công thức biến đổi tổng thành tích như sau: \[ \sin a + \sin b = 2 \sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] \[ \cos a + \cos b = 2 \cos \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \] Áp dụng cho tử số: \[ \sin 70^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin \left( \frac{70^\circ + 20^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{70^\circ - 20^\circ}{2} \right) = 2 \sin 45^\circ \cos 25^\circ \] Áp dụng cho mẫu số: \[ \cos 70^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos \left( \frac{70^\circ + 20^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{70^\circ - 20^\circ}{2} \right) = 2 \cos 45^\circ \cos 25^\circ \] Bước 2: Tính giá trị của biểu thức Thay các kết quả trên vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{2 \sin 45^\circ \cos 25^\circ}{2 \cos 45^\circ \cos 25^\circ} \] Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} \] Biết rằng \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ta có: \[ A = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \] Kết luận Giá trị của biểu thức \( A \) là 1. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học không gian và hình học phẳng. Dưới đây là các bước lập luận chi tiết: 1. Xác định các yếu tố cơ bản: - Hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình bình hành \( ABCD \) với tâm \( O \). - Điểm \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ABC \). 2. Tính chất của trọng tâm: - Trọng tâm \( G \) của tam giác \( \triangle ABC \) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \( 2:1 \). Do đó, nếu \( M \) là trung điểm của \( BC \), thì \( AG = \frac{2}{3}AM \). 3. Điều kiện song song: - Theo đề bài, \( GM \parallel SD \). Điều này có nghĩa là hai đoạn thẳng này cùng phương. 4. Sử dụng tính chất của đường trung tuyến và song song: - Vì \( GM \parallel SD \) và \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ABC \), ta có thể suy ra rằng \( GM \) là một phần của đường trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \). - Do đó, \( GM = \frac{2}{3}AM \). 5. Tính tỉ số \( \frac{SM}{MB} \): - Vì \( GM \parallel SD \), theo định lý Thales trong không gian, ta có: \[ \frac{SG}{GD} = \frac{SM}{MB} \] - Từ tính chất của trọng tâm, ta biết \( SG = \frac{2}{3}SD \). - Do đó, \( \frac{SG}{GD} = \frac{\frac{2}{3}SD}{\frac{1}{3}SD} = 2 \). 6. Kết luận: - Vậy tỉ số \( \frac{SM}{MB} = 2 \). Như vậy, tỉ số của \( \frac{SM}{MB} \) là 2. Câu 1: Do \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\sin \alpha > 0\). Ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \] Suy ra \(\sin \alpha = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\). Đáp số: \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\) Câu 2: Để tìm thời điểm mà cabin ở vị trí cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( h(t) = 57\sin\left(\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) + 57.5 \). Bước 1: Xét hàm số \( \sin\left(\frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) \) Hàm số \( \sin(x) \) đạt giá trị lớn nhất là 1 khi \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Do đó, ta cần giải phương trình: \[ \frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Bước 2: Giải phương trình Giải phương trình trên: \[ \frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Chuyển vế: \[ \frac{2\pi}{15}t = \pi + 2k\pi \] Chia cả hai vế cho \( \frac{2\pi}{15} \): \[ t = \frac{15}{2} + 15k \] Bước 3: Tìm giá trị \( t \) trong khoảng một vòng quay đầu tiên Vì ta chỉ xét trong khoảng một vòng quay đầu tiên, tức là \( 0 \leq t < 15 \), ta cần tìm \( k \) sao cho \( t \) nằm trong khoảng này. Thử với \( k = 0 \): \[ t = \frac{15}{2} = 7.5 \] Với \( k = 0 \), ta có \( t = 7.5 \) nằm trong khoảng \( 0 \leq t < 15 \). Kết luận Vậy, tại thời điểm \( t = 7.5 \) phút, cabin ở vị trí cao nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số \( h(t) \) là: \[ h(7.5) = 57 \times 1 + 57.5 = 114.5 \text{ m} \] Do đó, cabin đạt vị trí cao nhất là 114.5 m so với mặt đất khi \( t = 7.5 \) phút.