giải giúp e

Câu 10: Để xác định các điểm đồng phẳng, ta cần kiểm tra xem các điểm có nằm trên cùng một mặt phẳng hay không. 1. Xét các điểm A, M, N, D: - M là trung điểm của SA, do đó M nằm trên đoạn SA. - N là điểm trên đoạn SD với \( SN = \frac{3}{4}SD \), do đó N nằm trên đoạn SD. - A và D là hai điểm thuộc đáy ABCD của hình chóp. - Vì M và N đều nằm trên các cạnh của hình chóp và không có lý do nào để khẳng định chúng nằm trên cùng một mặt phẳng với A và D, nên A, M, N, D không đồng phẳng. 2. Xét các điểm S, B, M, N: - S là đỉnh của hình chóp. - B là điểm thuộc đáy ABCD. - M nằm trên đoạn SA và N nằm trên đoạn SD. - Không có lý do nào để khẳng định M và N nằm trên cùng một mặt phẳng với S và B, nên S, B, M, N không đồng phẳng. 3. Xét các điểm S, A, B, C: - S là đỉnh của hình chóp. - A, B, C là ba điểm thuộc đáy ABCD. - Do đó, S, A, B, C không đồng phẳng vì S không nằm trên mặt phẳng đáy ABCD. 4. Xét các điểm S, A, B, D: - S là đỉnh của hình chóp. - A, B, D là ba điểm thuộc đáy ABCD. - Mặt phẳng (SAB) chứa S, A, B và D cũng nằm trên mặt phẳng này vì D thuộc đáy ABCD. - Do đó, S, A, B, D đồng phẳng. Vậy các điểm đồng phẳng là: D. S, A, B, D. Câu 11: Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b, ta cần xem xét các thông tin đã cho: 1. Đường thẳng a nằm trên mặt phẳng (P). 2. Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P) tại điểm O. 3. Điểm O không thuộc đường thẳng a. Dựa vào các thông tin trên, ta có thể lập luận như sau: - Vì đường thẳng a nằm hoàn toàn trên mặt phẳng (P), nên mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P). - Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P) tại điểm O, nghĩa là b chỉ có một điểm chung với mặt phẳng (P) là điểm O. - Do điểm O không thuộc đường thẳng a, nên đường thẳng b không có điểm chung nào khác với đường thẳng a ngoài điểm O. Từ đó, ta có thể kết luận rằng đường thẳng a và đường thẳng b không có điểm chung nào khác ngoài điểm O, và vì O không thuộc a, nên hai đường thẳng này không thể cắt nhau, không thể trùng nhau và cũng không thể song song với nhau. Vì vậy, vị trí tương đối của đường thẳng a và đường thẳng b là chéo nhau. Đáp án đúng là: A. Chéo nhau. Câu 12: Để kiểm tra khẳng định nào sau đây sai, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng công thức lượng giác trong các đáp án A, B, C và D. A. $\sin a = 2 \sin \left( \frac{a}{2} \right) \cos \left( \frac{a}{2} \right)$, $\forall a \in \mathbb{R}$. Công thức này đúng vì nó là công thức biến đổi tích thành tổng của sin: $ \sin a = 2 \sin \left( \frac{a}{2} \right) \cos \left( \frac{a}{2} \right) $ B. $\cos 4a = 2 \cos^2 2a - 1$, $\forall a \in \mathbb{R}$. Công thức này cũng đúng vì nó là công thức hạ bậc của cos: $ \cos 4a = 2 \cos^2 2a - 1 $ C. $\sin 5a \cdot \sin 3a = (\cos 8a - \cos 2a)$, $\forall a \in \mathbb{R}$. Công thức này sai vì công thức biến đổi tích thành tổng của sin là: $ \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A-B) - \cos (A+B)] $ Áp dụng vào công thức trên: $ \sin 5a \cdot \sin 3a = \frac{1}{2} [\cos (5a-3a) - \cos (5a+3a)] = \frac{1}{2} [\cos 2a - \cos 8a] $ Do đó, công thức đúng là: $ \sin 5a \cdot \sin 3a = \frac{1}{2} (\cos 2a - \cos 8a) $ Không phải là $(\cos 8a - \cos 2a)$. D. $\sin 5a + \sin 3a = 2 \sin 4a \cdot \cos a$, $\forall a \in \mathbb{R}$. Công thức này đúng vì nó là công thức biến đổi tổng thành tích của sin: $ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $ Áp dụng vào công thức trên: $ \sin 5a + \sin 3a = 2 \sin \left( \frac{5a+3a}{2} \right) \cos \left( \frac{5a-3a}{2} \right) = 2 \sin 4a \cdot \cos a $ Kết luận: Khẳng định sai là đáp án C. Câu 1: a) Tập xác định của hàm số \( y = \frac{5x - 1}{1 - \sin^2 x} \): Điều kiện xác định của hàm số này là mẫu số khác 0: \[ 1 - \sin^2 x \neq 0 \] \[ \sin^2 x \neq 1 \] \[ \sin x \neq \pm 1 \] Các giá trị của \( x \) mà \( \sin x = \pm 1 \) là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \] Mệnh đề a) nói rằng tập xác định là \( D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \), điều này không chính xác vì nó loại bỏ các điểm \( x = k\pi \) thay vì \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \). Kết luận: Mệnh đề a) sai. b) Tất cả các nghiệm của phương trình \( \tan x = \tan \alpha \): Phương trình \( \tan x = \tan \alpha \) có nghiệm tổng quát là: \[ x = \alpha + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Mệnh đề b) nói rằng tất cả các nghiệm là \( x = \alpha + k2\pi \), điều này không chính xác vì nó chỉ bao gồm các nghiệm cách nhau \( 2\pi \) thay vì \( \pi \). Kết luận: Mệnh đề b) sai. c) Cho góc \( \alpha \) thỏa mãn \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) và \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Khi đó \( \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{7} \): Trước tiên, ta tìm \( \cos \alpha \): \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] (vì \( \alpha \) nằm trong khoảng \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)) Tiếp theo, ta tìm \( \tan \alpha \): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] Bây giờ, ta sử dụng công thức cộng góc để tìm \( \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) \): \[ \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \alpha + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}} \] \[ \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 - \left( -\frac{3}{4} \cdot 1 \right)} \] \[ \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{4}} \] \[ \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} \] \[ \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{7} \] Kết luận: Mệnh đề c) đúng. d) Tất cả các nghiệm của phương trình \( \sin x - \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \): Ta viết lại phương trình: \[ \sin x = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \] Sử dụng công thức cộng góc cho cosin: \[ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} \] \[ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \] Thay vào phương trình: \[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \] \[ \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \] \[ \sin x \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \] \[ \sin x \left( \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \] \[ \sin x (2 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \cos x \] \[ \tan x = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \] Rationalize mẫu số: \[ \tan x = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \] \[ \tan x = \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} \] \[ \tan x = \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2} \] \[ \tan x = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} \] \[ \tan x = \sqrt{2} - 1 \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \arctan (\sqrt{2} - 1) + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Mệnh đề d) nói rằng tất cả các nghiệm là \( x = \frac{\pi}{8} + k\pi \), điều này không chính xác vì \( \arctan (\sqrt{2} - 1) \neq \frac{\pi}{8} \). Kết luận: Mệnh đề d) sai. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết cụ thể nội dung của bài toán. Tuy nhiên, vì bài toán chưa được cung cấp đầy đủ thông tin, tôi sẽ đưa ra một ví dụ minh họa để bạn hiểu cách giải quyết các bài toán theo các quy tắc đã nêu. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \). Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số. Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) là một đa thức, do đó miền xác định của nó là toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ f'(x) = -2x + 4 \] Bước 3: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị. \[ -2x + 4 = 0 \] \[ -2x = -4 \] \[ x = 2 \] Bước 4: Xác định giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và xét dấu của đạo hàm. \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \] Bước 5: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Do \( f(x) \) là một parabol mở xuống (hệ số của \( x^2 \) âm), nên giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại đỉnh \( x = 2 \). Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì miền xác định của nó là toàn bộ tập số thực và hàm số tiếp tục giảm khi \( x \) tiến đến \( \pm\infty \). Hy vọng ví dụ trên giúp bạn hiểu cách giải quyết các bài toán theo các quy tắc đã nêu. Nếu bạn có bài toán cụ thể khác cần giải quyết, hãy cung cấp thêm thông tin chi tiết nhé!