Chọn đáp án

Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ tổng $|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}|$ trong tam giác đều $ABC$ có cạnh $a$. 1. Xác định các vectơ: - Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, do đó $AB = BC = CA = a$. - Đường cao $AH$ trong tam giác đều chia tam giác thành hai tam giác vuông cân, do đó $H$ là trung điểm của $BC$. 2. Tính độ dài $AH$: - Trong tam giác đều $ABC$, đường cao $AH$ cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Do đó, $H$ là trung điểm của $BC$. - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $AHC$, ta có: \[ AH = \sqrt{AC^2 - HC^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \] 3. Tính $|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}|$: - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có độ dài $a$. - Vectơ $\overrightarrow{AH}$ có độ dài $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Do $AH$ là đường cao, nên $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AH}$ vuông góc với nhau. 4. Tính độ dài tổng của hai vectơ vuông góc: - Khi hai vectơ vuông góc, độ dài của tổng hai vectơ được tính bằng định lý Pythagore: \[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}| = \sqrt{|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AH}|^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}. \] - Tính toán: \[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}| = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}. \] Tuy nhiên, trong các đáp án cho sẵn không có kết quả này. Có thể có sai sót trong việc tính toán hoặc đề bài. Nhưng theo cách tính trên, kết quả là $\frac{a\sqrt{7}}{2}$, không khớp với các đáp án đã cho. Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). 1. Biểu diễn vectơ: - Giả sử điểm \(A\) là gốc tọa độ, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2a \cos 120^\circ \\ 2a \sin 120^\circ \end{pmatrix} \] 2. Tính toán các giá trị lượng giác: - \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\) - \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 3. Tính tọa độ của \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a \\ a\sqrt{3} \end{pmatrix} \] 4. Tính tổng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a \\ a\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ a\sqrt{3} \end{pmatrix} \] 5. Tính độ dài của vectơ tổng: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{0^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] Vậy độ dài của \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|\) là \(a\sqrt{3}\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~a\sqrt{3}\).