Chọn đáp án

Câu 16: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ $|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}|$. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ và cạnh $3a$. Đặt $A(0, 0)$, $B(3a, 0)$, $C(3a, 3a)$, $D(0, 3a)$. - Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ $M\left(\frac{0 + 3a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, 0\right)$. - Điểm $N$ là điểm đối xứng của $C$ qua $D$. Do đó, $N$ có tọa độ $N(0, 3a) + (0, 3a) - (3a, 3a) = (-3a, 3a)$. 2. Tính các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{DC} = (3a - 0, 3a - 3a) = (3a, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{DM} = \left(\frac{3a}{2} - 0, 0 - 3a\right) = \left(\frac{3a}{2}, -3a\right)$. 3. Tính tổng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM} = (3a, 0) + \left(\frac{3a}{2}, -3a\right) = \left(3a + \frac{3a}{2}, -3a\right) = \left(\frac{9a}{2}, -3a\right) \] 4. Tính độ dài của vectơ: \[ |\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}| = \sqrt{\left(\frac{9a}{2}\right)^2 + (-3a)^2} = \sqrt{\frac{81a^2}{4} + 9a^2} = \sqrt{\frac{81a^2}{4} + \frac{36a^2}{4}} = \sqrt{\frac{117a^2}{4}} \] \[ = \frac{\sqrt{117}a}{2} = \frac{3a\sqrt{13}}{2} \] Do đó, giá trị của $|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}|$ là $\frac{3a\sqrt{13}}{2}$. Vậy đáp án đúng là $C.~\frac{3a\sqrt{13}}{2}$. Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài của tổng hai vectơ \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\) trong tam giác đều \(ABC\). 1. Xác định vị trí của các điểm: - Tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(a\). - Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BM = MC = \frac{a}{2}\). - Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trọng tâm \(G\) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \(2:1\), với phần dài hơn nằm về phía đỉnh. 2. Tính tọa độ của các điểm: - Đặt \(A(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})\), \(B(-\frac{a}{2}, 0)\), \(C(\frac{a}{2}, 0)\). - Trung điểm \(M\) của \(BC\) có tọa độ \(M(0, 0)\). 3. Tính tọa độ của trọng tâm \(G\): - Trọng tâm \(G\) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh: \[ G\left(\frac{0 + (-\frac{a}{2}) + \frac{a}{2}}{3}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 0 + 0}{3}\right) = \left(0, \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \] 4. Tính các vectơ \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GC}\): - \(\overrightarrow{GB} = B - G = \left(-\frac{a}{2} - 0, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)\) - \(\overrightarrow{GC} = C - G = \left(\frac{a}{2} - 0, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)\) 5. Tính tổng \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\): \[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \left(-\frac{a}{2} + \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) \] 6. Tính độ dài của \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\): \[ \left|\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\right| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Vậy độ dài của \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần hiểu rõ vị trí của các điểm và các vectơ trong hình vuông ABCD. 1. Xác định vị trí các điểm: - Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là \( a \). - Tâm \( O \) của hình vuông là giao điểm của hai đường chéo, do đó \( O \) là trung điểm của cả hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). 2. Biểu diễn các vectơ: - Vì \( O \) là trung điểm của \( AC \), ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \] hay \[ \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA} \] - Tương tự, vì \( O \) là trung điểm của \( BD \), ta có: \[ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] hay \[ \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB} \] 3. Tính toán \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}\): - Thay \(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}\) vào biểu thức cần tính: \[ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - (-\overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} \] 4. Liên hệ với các đáp án: - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}\) chính là vectơ \(\overrightarrow{AB}\) vì: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \] Do đó, đáp án đúng là \( D.~\overrightarrow{AB} \). Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành và các phép toán vectơ. 1. Tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, điểm O là trung điểm của cả hai đường chéo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$. 2. Biểu diễn vectơ: - Vì O là trung điểm của $\overrightarrow{AC}$, ta có: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \] - Tương tự, vì O là trung điểm của $\overrightarrow{BD}$, ta có: \[ \overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \] 3. Tính toán vectơ $\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO}$: - Ta có: \[ \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \] - Sử dụng tính chất của phép trừ vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DC}) \] - Do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD}$, ta có: \[ \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} \] 4. Kết luận: - Trong hình bình hành, $\overrightarrow{AD}$ bằng $\overrightarrow{BC}$ (do hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau và cùng hướng). - Do đó, $\frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$. Vậy, vectơ $\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO}$ bằng $\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$, nhưng trong các đáp án chỉ có $\overrightarrow{BC}$ là phù hợp với kết quả này. Do đó, đáp án đúng là $B.~\overrightarrow{BC}$. Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: Nếu I là trung điểm đoạn AB thì \(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\). - Nếu I là trung điểm của đoạn AB, thì \(\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}\). Do đó, \(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IB} = -2\overrightarrow{IB} \neq \overrightarrow{0}\). - Khẳng định A là sai. Khẳng định B: Nếu I là trung điểm đoạn AB thì \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB}\). - Nếu I là trung điểm của đoạn AB, thì \(\overrightarrow{AI} = -\overrightarrow{IB}\) và \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AI} - (-\overrightarrow{AI}) = 2\overrightarrow{AI} \neq \overrightarrow{AB}\). - Khẳng định B là sai. Khẳng định C: Nếu I là trung điểm đoạn AB thì \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\). - Nếu I là trung điểm của đoạn AB, thì \(\overrightarrow{AI} = -\overrightarrow{IB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IB} = -2\overrightarrow{IB} \neq \overrightarrow{0}\). - Khẳng định C là sai. Khẳng định D: Nếu I là trung điểm đoạn AB thì \(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\). - Nếu I là trung điểm của đoạn AB, thì \(\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{BI} = -\overrightarrow{IB} - (-\overrightarrow{IB}) = \overrightarrow{0}\). - Khẳng định D là đúng. Tóm lại, các khẳng định sai là A, B và C. Trong số các lựa chọn, khẳng định A là khẳng định sai đầu tiên. Câu 21: Để xác định đẳng thức nào là đúng, chúng ta sẽ phân tích từng đẳng thức một cách chi tiết. A. \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CO}\) - Xét vế phải: \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CO}\). - Theo quy tắc cộng vectơ, \(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}\) và \(\overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{OC}\). - Do đó, \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CO} = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) + (-\overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OC}\). - Vế phải không bằng \(\overrightarrow{OA}\), nên đẳng thức A sai. B. \(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\) - Xét vế trái: \(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\). - Theo quy tắc cộng vectơ, \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}\), và \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\). - Thay vào, ta có: \((\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) - (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})\). - Rút gọn: \(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}\). - Vế trái bằng \(\overrightarrow{0}\), nên đẳng thức B đúng. C. \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\) - Xét vế phải: \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\). - Theo quy tắc vectơ, \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\). - Vế phải là \(-(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\). - Vế trái bằng vế phải, nên đẳng thức C đúng. D. \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{BA}\) - Xét vế phải: \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{BA}\). - Theo quy tắc vectơ, \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\). - Thay vào, ta có: \(\overrightarrow{OB} - (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\). - Vế phải không bằng \(\overrightarrow{OA}\), nên đẳng thức D sai. Kết luận: Đẳng thức đúng là B và C. Câu 22: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng đẳng thức một cách cẩn thận. Chúng ta sẽ sử dụng các phép biến đổi vector cơ bản để kiểm tra tính đúng đắn của từng đẳng thức. Đẳng thức A: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DA} \] Biến đổi vế trái: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \] Biến đổi vế phải: \[ \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} \] Để hai vế bằng nhau, cần có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} \] Điều này không đúng trong mọi trường hợp, vì không có mối quan hệ đặc biệt giữa các vector này. Do đó, đẳng thức A không đúng. Đẳng thức B: \[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AD} \] Biến đổi vế trái: \[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} \] Biến đổi vế phải: \[ \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DA} \] Để hai vế bằng nhau, cần có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DA} \] Điều này cũng không đúng trong mọi trường hợp, vì không có mối quan hệ đặc biệt giữa các vector này. Do đó, đẳng thức B không đúng. Đẳng thức C: \[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{DA} \] Biến đổi vế trái: \[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \] Biến đổi vế phải: \[ \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} \] Để hai vế bằng nhau, cần có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} \] Điều này cũng không đúng trong mọi trường hợp, vì không có mối quan hệ đặc biệt giữa các vector này. Do đó, đẳng thức C không đúng. Đẳng thức D: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC} \] Biến đổi vế trái: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} \] Biến đổi vế phải: \[ \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} \] Để hai vế bằng nhau, cần có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} \] Điều này cũng không đúng trong mọi trường hợp, vì không có mối quan hệ đặc biệt giữa các vector này. Do đó, đẳng thức D không đúng. Kết luận: Không có đẳng thức nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng trong mọi trường hợp. Câu 23: Để tìm giá trị của \( |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có thể coi \(A\) là gốc tọa độ, \(B\) và \(C\) nằm trên các trục tọa độ vuông góc. - Giả sử \(A\) có tọa độ \((0, 0)\), \(B\) có tọa độ \((3a, 0)\), và \(C\) có tọa độ \((0, 4a)\). 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (3a - 0, 0 - 0) = (3a, 0)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = (0 - 0, 4a - 0) = (0, 4a)\). 3. Tính hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = (3a, 0) - (0, 4a) = (3a - 0, 0 - 4a) = (3a, -4a) \] 4. Tính độ dài của vectơ \(|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|\): \[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(3a)^2 + (-4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a \] Vậy giá trị của \( |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| \) là \(5a\). Do đó, đáp án đúng là A. 5a. Câu 24: Để giải bài toán này, ta cần phân tích các vectơ trong hình vuông ABCD với tâm O. 1. Xác định các vectơ liên quan: - Vì O là tâm của hình vuông ABCD, nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] - Từ đó suy ra: \[ \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB} \] 2. Tính toán biểu thức $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$: - Thay $\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}$ vào biểu thức: \[ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - (-\overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} \] 3. Liên hệ với các đáp án: - Ta cần so sánh $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}$ với các đáp án đã cho: - $\overrightarrow{AD}$: Vectơ từ A đến D. - $\overrightarrow{DA}$: Vectơ từ D đến A. - $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}$: Vectơ từ O đến D trừ đi vectơ từ O đến A. - $\overrightarrow{AB}$: Vectơ từ A đến B. 4. Kết luận: - Trong hình vuông, $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}$ chính là vectơ $\overrightarrow{AD}$ vì hai vectơ này có cùng độ dài và cùng hướng (do tính chất đối xứng của hình vuông). - Do đó, đáp án đúng là $A.~\overrightarrow{AD}$. Vậy, $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AD}$. Đáp án đúng là A. Câu 25: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích điều kiện đã cho: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\). Ta có thể biến đổi điều kiện này như sau: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} \] Điều này có nghĩa là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\) bằng vectơ \(\overrightarrow{MC}\). Bây giờ, ta sẽ xem xét các lựa chọn để xác định hình bình hành: - A. MACB là hình bình hành: Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}\), không phù hợp với điều kiện đã cho. - B. MABC là hình bình hành: Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}\), phù hợp với điều kiện đã cho. - C. MBAC là hình bình hành: Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MC}\), cũng phù hợp với điều kiện đã cho, nhưng thứ tự các điểm không thay đổi bản chất của hình bình hành. - D. MCAB là hình bình hành: Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}\), không phù hợp với điều kiện đã cho. Vậy, đáp án đúng là B. MABC là hình bình hành. Câu 26: Để tìm mệnh đề sai, ta cần kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Trước tiên, ta nhắc lại một số tính chất của hình bình hành: 1. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}, \quad \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \] 2. Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối song song và bằng nhau: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Bây giờ, ta kiểm tra từng mệnh đề: Mệnh đề A: \(\overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\) - Ta có: \(\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\). - Mệnh đề A là đúng. Mệnh đề B: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}\) - Ta có: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\) (do \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) trong hình bình hành). - Do đó, \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\). - Mệnh đề B là đúng. Mệnh đề C: \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\) - Ta có: \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA}\). - Do đó, \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BA}\). - Mặt khác, \(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BA}\). - Mệnh đề C là đúng. Mệnh đề D: \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}\) - Ta có: \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\). - Mệnh đề D là đúng. Tất cả các mệnh đề đều đúng theo các tính chất của hình bình hành. Tuy nhiên, nếu phải chọn một mệnh đề có khả năng sai, ta cần xem xét lại các bước tính toán hoặc điều kiện của bài toán. Trong trường hợp này, không có mệnh đề nào sai theo các tính toán đã thực hiện. Câu 27: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành và phép toán vectơ. Cho hình bình hành \(ABCD\), ta có tính chất: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Bây giờ, xét từng khẳng định: Khẳng định A: \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\) Ta có: \[ \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB} \] Vậy \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \neq \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\). Khẳng định A sai. Khẳng định B: \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\) Ta có: \[ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \] Vậy \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \neq \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\). Khẳng định B sai. Khẳng định C: \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\) Ta có: \[ \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \neq \overrightarrow{AB} \] Vậy \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \neq \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\). Khẳng định C sai. Khẳng định D: \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\) Ta có: \[ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \] Vậy \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\). Khẳng định D đúng. Kết luận: Khẳng định đúng là D. Câu 28: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích điều kiện $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$. 1. Phân tích điều kiện: Điều kiện $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ có thể được hiểu là độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$ bằng nhau. 2. Biểu diễn vectơ: Giả sử $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{v}$. Khi đó, điều kiện trở thành $|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|$. 3. Bình phương hai vế: Ta có: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|^2 = |\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2 \] Điều này tương đương với: \[ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \] Triển khai hai vế: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \] Rút gọn, ta được: \[ 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \] Suy ra: \[ 4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \] Điều này có nghĩa là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$, tức là $\overrightarrow{MA}$ vuông góc với $\overrightarrow{MB}$. 4. Kết luận: Tập hợp các điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}$ vuông góc với $\overrightarrow{MB}$ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Do đó, đáp án đúng là B. đường trung trực của AB. Câu 29: Để tìm độ dài của vectơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\), ta cần phân tích các vectơ trong tam giác đều \(ABC\). 1. Đặc điểm của tam giác đều: - Tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng 3. - Các góc trong tam giác đều đều bằng \(60^\circ\). 2. Biểu diễn vectơ: - Giả sử \(A\), \(B\), \(C\) là các đỉnh của tam giác đều trong mặt phẳng tọa độ. - Đặt \(A\) tại gốc tọa độ \(O(0, 0)\), \(B(3, 0)\) và \(C\) có tọa độ \(\left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) do tam giác đều có chiều cao bằng \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\). 3. Tính toán vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = B - A = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = C - A = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\). 4. Tính vectơ \(\overrightarrow{x}\): \[ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = (3, 0) - \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(3 - \frac{3}{2}, 0 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \] 5. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{x}\): \[ |\overrightarrow{x}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{x}\) là 3. Do đó, đáp án đúng là A. 3.