Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;1;2) , B(2;2;4) , C(2;0;1) và D(3;1;0). Hai mặt phẳng (P) , (Q) vuông góc với nhau cùng đi qua A,B và cắt đường thẳng CD tại hai điểm M,N . Độ dài MN ngắn nhất là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $ MN $ khi hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $ vuông góc với nhau, cùng đi qua hai điểm $ A $ và $ B $, và cắt đường thẳng $ CD $ tại hai điểm $ M $ và $ N $.

Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng $ CD $.

Đường thẳng $ CD $ đi qua hai điểm $ C(2, 0, 1) $ và $ D(3, 1, 0) $. Vector chỉ phương của đường thẳng $ CD $ là:
$$
\overrightarrow{CD} = (3 - 2, 1 - 0, 0 - 1) = (1, 1, -1)
$$

Phương trình tham số của đường thẳng $ CD $ là:
$$
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = t \
z = 1 - t
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $.

Hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $ đều đi qua hai điểm $ A(1, 1, 2) $ và $ B(2, 2, 4) $. Vector chỉ phương của đường thẳng $ AB $ là:
$$
\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 2 - 1, 4 - 2) = (1, 1, 2)
$$

Mặt phẳng $ (P) $ có dạng:
$$
a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 2) = 0
$$
và mặt phẳng $ (Q) $ có dạng:
$$
a&#x27;(x - 1) + b&#x27;(y - 1) + c&#x27;(z - 2) = 0
$$

Vì $ (P) $ và $ (Q) $ vuông góc với nhau, nên:
$$
aa&#x27; + bb&#x27; + cc&#x27; = 0
$$

Bước 3: Tìm điểm $ M $ và $ N $ trên đường thẳng $ CD $.

Điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ (P) $ và điểm $ N $ thuộc mặt phẳng $ (Q) $. Để độ dài $ MN $ ngắn nhất, $ MN $ phải vuông góc với cả hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $.

Do đó, vector $ \overrightarrow{MN} $ phải là giao của hai vector pháp tuyến của hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $. Vì $ (P) $ và $ (Q) $ vuông góc với nhau, nên:
$$
\overrightarrow{MN} = k \overrightarrow{AB} = k(1, 1, 2)
$$

Bước 4: Tính độ dài $ MN $.

Vì $ \overrightarrow{MN} = k(1, 1, 2) $, độ dài $ MN $ là:
$$
MN = \sqrt{(k \cdot 1)^2 + (k \cdot 1)^2 + (k \cdot 2)^2} = \sqrt{k^2 + k^2 + 4k^2} = \sqrt{6k^2} = |k|\sqrt{6}
$$

Để $ MN $ ngắn nhất, $ k $ phải nhỏ nhất có thể, tức là $ k = 1 $.

Vậy độ dài ngắn nhất của $ MN $ là $ \sqrt{6} $.

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;1;2) , B(2;2;4) , C(2;0;1) và D(3;1;0). Hai mặt phẳng (P) , (Q) vuông góc với nhau cùng đi qua A,B và cắt đường thẳng CD tại hai điểm M,N . Độ dài MN ngắn nhất là...