Trong không gian Oxyz, cho điểm A=(-4,6,2). Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Tính diện tích S của tam giác MNP.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của các điểm M, N, P là hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

1. Xác định tọa độ của điểm M:
   - Điểm M là hình chiếu của A trên trục Ox, do đó M có tọa độ là $(-4, 0, 0)$.

2. Xác định tọa độ của điểm N:
   - Điểm N là hình chiếu của A trên trục Oy, do đó N có tọa độ là $(0, 6, 0)$.

3. Xác định tọa độ của điểm P:
   - Điểm P là hình chiếu của A trên trục Oz, do đó P có tọa độ là $(0, 0, 2)$.

Bây giờ, ta đã có tọa độ của ba điểm M, N, P:
- $ M(-4, 0, 0) $
- $ N(0, 6, 0) $
- $ P(0, 0, 2) $

4. Tính diện tích tam giác MNP:

Để tính diện tích tam giác MNP, ta sử dụng công thức diện tích tam giác trong không gian với tọa độ các điểm $ M(x_1, y_1, z_1) $, $ N(x_2, y_2, z_2) $, $ P(x_3, y_3, z_3) $:

$$
S = \frac{1}{2} \sqrt{(y_2z_3 + y_3z_1 + y_1z_2 - y_3z_2 - y_1z_3 - y_2z_1)^2 + (z_2x_3 + z_3x_1 + z_1x_2 - z_3x_2 - z_1x_3 - z_2x_1)^2 + (x_2y_3 + x_3y_1 + x_1y_2 - x_3y_2 - x_1y_3 - x_2y_1)^2}
$$

Thay tọa độ của M, N, P vào công thức:

$$
S = \frac{1}{2} \sqrt{(0 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 0 - 0 \cdot 0 - 6 \cdot 2 - 0 \cdot 0)^2 + (0 \cdot 0 + 2 \cdot (-4) + 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 0 \cdot (-4) - 0 \cdot 0)^2 + ((0 \cdot 0 + (-4) \cdot 6 + 0 \cdot 0 - (-4) \cdot 0 - 0 \cdot 6 - 0 \cdot 0)^2)}
$$

$$
= \frac{1}{2} \sqrt{(-12)^2 + (-8)^2 + (-24)^2}
$$

$$
= \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 576}
$$

$$
= \frac{1}{2} \sqrt{784}
$$

$$
= \frac{1}{2} \times 28
$$

$$
= 14
$$

Vậy, diện tích của tam giác MNP là 14.