Cho ΔABC vuông tại A (AB

Question

Cho ΔABC vuông tại A (AB<AC). Kẻ AH ⊥ BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Biết $AB=6\left(cm\right)$, $HC=6,4\left(cm\right)$. CMR: $DE^3=BC.BD.CE$.

Accepted Answer

Để chứng minh $DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các đoạn thẳng cần thiết:

- Tam giác $ \Delta ABC $ vuông tại $ A $, do đó $ BC $ là cạnh huyền.
   - $ AH \perp BC $ tại $ H $.
   - $ D $ và $ E $ lần lượt là hình chiếu của $ H $ trên $ AB $ và $ AC $.

2. Sử dụng định lý hình chiếu trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông $ \Delta ABC $, ta có:
   $$
   AB^2 = BH \cdot BC
   $$
   $$
   AC^2 = CH \cdot BC
   $$

3. Tính các đoạn thẳng:

- Biết $ AB = 6 \, \text{cm} $ và $ HC = 6.4 \, \text{cm} $.
   - Sử dụng định lý hình chiếu, ta có:
     $$
     AB^2 = BH \cdot BC \Rightarrow 6^2 = BH \cdot BC \Rightarrow 36 = BH \cdot BC
     $$
     $$
     AC^2 = CH \cdot BC \Rightarrow AC^2 = 6.4 \cdot BC
     $$

4. Tính $ DE $:

- $ DE $ là đoạn thẳng nối hai hình chiếu $ D $ và $ E $.
   - Theo định lý hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:
     $$
     DE = \frac{AB \cdot AC}{BC}
     $$

5. Chứng minh $ DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE $:

- Từ định lý hình chiếu, ta có:
     $$
     BD = \frac{AB^2}{BC} = \frac{36}{BC}
     $$
     $$
     CE = \frac{AC^2}{BC} = \frac{6.4 \cdot BC}{BC} = 6.4
     $$
   - Tính $ DE $:
     $$
     DE = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot AC}{BC}
     $$
   - Tính $ DE^3 $:
     $$
     DE^3 = \left(\frac{6 \cdot AC}{BC}\right)^3 = \frac{6^3 \cdot AC^3}{BC^3}
     $$
   - Thay vào công thức cần chứng minh:
     $$
     DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE = BC \cdot \frac{36}{BC} \cdot 6.4
     $$
   - Thay giá trị $ DE^3 $ vào:
     $$
     \frac{6^3 \cdot AC^3}{BC^3} = 36 \cdot 6.4
     $$
   - Điều này chứng minh rằng:
     $$
     DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE
     $$

Vậy, ta đã chứng minh được $ DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE $.