Cho đa thức $f\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2+ca+d\left(a,b,c,d∈ R\right)$. Biết $f\left(1\right)=10;f\left(2\right)=20;f\left(3\right)=30$. Tính giá trị biểu thức $A=f\left(8\right)+f\left(-4\right)$.

Ta xét đa thức \(g(x) = f(x) - 10x\). Ta thấy rằng: \[ g(1) = f(1) - 10 \cdot 1 = 10 - 10 = 0 \] \[ g(2) = f(2) - 10 \cdot 2 = 20 - 20 = 0 \] \[ g(3) = f(3) - 10 \cdot 3 = 30 - 30 = 0 \] Như vậy, \(g(x)\) có ba nghiệm là 1, 2 và 3. Do đó, \(g(x)\) chia hết cho \((x-1)(x-2)(x-3)\). Vì \(g(x)\) là đa thức bậc 4, ta có thể viết: \[ g(x) = k(x-1)(x-2)(x-3)(x-r) \] trong đó \(k\) là hằng số và \(r\) là nghiệm còn lại của \(g(x)\). Do đó: \[ f(x) = g(x) + 10x = k(x-1)(x-2)(x-3)(x-r) + 10x \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của \(f(8)\) và \(f(-4)\): \[ f(8) = k(8-1)(8-2)(8-3)(8-r) + 10 \cdot 8 = k \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot (8-r) + 80 \] \[ f(-4) = k(-4-1)(-4-2)(-4-3)(-4-r) + 10 \cdot (-4) = k \cdot (-5) \cdot (-6) \cdot (-7) \cdot (-4-r) - 40 \] Tổng \(A = f(8) + f(-4)\): \[ A = k \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot (8-r) + 80 + k \cdot (-5) \cdot (-6) \cdot (-7) \cdot (-4-r) - 40 \] \[ A = k \cdot 210 \cdot (8-r) + 80 + k \cdot 210 \cdot (4+r) - 40 \] \[ A = k \cdot 210 \cdot (8-r + 4 + r) + 40 \] \[ A = k \cdot 210 \cdot 12 + 40 \] \[ A = 2520k + 40 \] Vì \(g(x)\) có dạng \(k(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)\), ta có thể chọn \(k = 1\) để đơn giản hóa: \[ A = 2520 \cdot 1 + 40 = 2560 \] Vậy giá trị của \(A\) là: \[ A = 2560 \]