giup minh voi

a) Số bộ quần áo được bán ra là: Giả sử giá bán mỗi bộ quần áo là \( x \) nghìn đồng. Theo đề bài, nếu giá bán là 100 nghìn đồng thì có 250 bộ quần áo được bán ra. Nếu cứ giảm 10 nghìn đồng một bộ thì lại có thêm 50 bộ quần áo được bán ra. Số lượng bộ quần áo được bán ra sẽ thay đổi theo giá bán \( x \). Ta có thể viết biểu thức số lượng bộ quần áo được bán ra như sau: \[ \text{Số bộ quần áo được bán ra} = 250 + 50 \left( \frac{100 - x}{10} \right) \] \[ = 250 + 5(100 - x) \] \[ = 250 + 500 - 5x \] \[ = 750 - 5x \] Vậy số bộ quần áo được bán ra là \( 750 - 5x \). b) Hàm doanh thu \( R(x) \) là: Doanh thu \( R(x) \) là tích của giá bán mỗi bộ quần áo và số lượng bộ quần áo được bán ra: \[ R(x) = x \cdot (750 - 5x) \] \[ R(x) = 750x - 5x^2 \] c) Phương trình \( R'(x) = 0 \) có nghiệm là: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm doanh thu, ta cần tính đạo hàm của \( R(x) \): \[ R'(x) = 750 - 10x \] Đặt \( R'(x) = 0 \) để tìm giá trị cực trị: \[ 750 - 10x = 0 \] \[ 10x = 750 \] \[ x = 75 \] d) Doanh thu lớn nhất trong một tháng của cơ sở sản xuất A là: Thay \( x = 75 \) vào hàm doanh thu \( R(x) \): \[ R(75) = 750 \cdot 75 - 5 \cdot 75^2 \] \[ R(75) = 56250 - 5 \cdot 5625 \] \[ R(75) = 56250 - 28125 \] \[ R(75) = 28125 \] Vậy doanh thu lớn nhất trong một tháng của cơ sở sản xuất A là 28.125.000 đồng. Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của hộp hình hộp chữ nhật có đáy vuông và nắp kín sao cho chi phí sản xuất là nhỏ nhất, với thể tích cố định là \(48000~cm^3\). Gọi \(x\) là độ dài cạnh của đáy vuông (đơn vị: cm), và \(h\) là chiều cao của hộp (đơn vị: cm). Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Thể tích của hộp là: \[ V = x^2 \cdot h = 48000 \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{48000}{x^2} \] Bước 2: Thiết lập hàm chi phí Chi phí làm đáy và nắp: - Diện tích đáy và nắp là \(2x^2\). - Chi phí cho đáy và nắp là \(3 \times 2x^2 = 6x^2\). Chi phí làm 4 mặt bên: - Diện tích 4 mặt bên là \(4xh\). - Chi phí cho 4 mặt bên là \(1.5 \times 4xh = 6xh\). Tổng chi phí \(C\) là: \[ C = 6x^2 + 6xh \] Thay \(h = \frac{48000}{x^2}\) vào biểu thức chi phí: \[ C = 6x^2 + 6x \cdot \frac{48000}{x^2} = 6x^2 + \frac{288000}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(C\), ta tính đạo hàm của \(C\) theo \(x\): \[ C'(x) = 12x - \frac{288000}{x^2} \] Đặt \(C'(x) = 0\): \[ 12x - \frac{288000}{x^2} = 0 \] \[ 12x^3 = 288000 \] \[ x^3 = 24000 \] \[ x = \sqrt[3]{24000} \] Tính \(x\): \[ x = 24 \text{ cm} \] Thay \(x = 24\) vào để tìm \(h\): \[ h = \frac{48000}{24^2} = \frac{48000}{576} = 83.3333 \text{ cm} \] Bước 4: Tính chi phí nhỏ nhất Thay \(x = 24\) và \(h = 83.3333\) vào biểu thức chi phí: \[ C = 6 \times 24^2 + \frac{288000}{24} = 6 \times 576 + 12000 = 3456 + 12000 = 15456 \text{ đồng} \] Vậy, chi phí nhỏ nhất để sản xuất chiếc hộp là \(15456\) đồng, hay \(15.456\) nghìn đồng. Câu 2: Để tìm từ phân vị thứ nhất (Q1) và từ phân vị thứ ba (Q3) của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần. Doanh thu: 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, 13, 13, 15 Bước 2: Tìm vị trí của Q1 và Q3. - Q1 là từ phân vị thứ nhất, nằm ở vị trí \(\frac{1}{4}\) của tổng số quan sát. - Q3 là từ phân vị thứ ba, nằm ở vị trí \(\frac{3}{4}\) của tổng số quan sát. Tổng số quan sát là 10, do đó: - Vị trí của Q1: \(\frac{1}{4} \times 10 = 2.5\) - Vị trí của Q3: \(\frac{3}{4} \times 10 = 7.5\) Bước 3: Xác định giá trị của Q1 và Q3. - Q1 nằm giữa vị trí 2 và 3, do đó Q1 là trung bình cộng của hai giá trị này: \(Q1 = \frac{7 + 7}{2} = 7\) - Q3 nằm giữa vị trí 7 và 8, do đó Q3 là trung bình cộng của hai giá trị này: \(Q3 = \frac{11 + 13}{2} = 12\) Bước 4: Tính hiệu số Q3 - Q1. \(Q3 - Q1 = 12 - 7 = 5\) Vậy hiệu số Q3 - Q1 là 5 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án: 5.00 Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \). Bước 1: Tính độ dài các cạnh và đường cao của hình thoi ABCD Vì ABCD là hình thoi, nên các cạnh bằng nhau và bằng 2024. Góc \( \angle BAD = 60^\circ \). Sử dụng công thức tính đường chéo của hình thoi khi biết cạnh và góc giữa hai cạnh: - Đường chéo \( AC = 2 \times 2024 \times \cos(30^\circ) = 2024 \sqrt{3} \). - Đường chéo \( BD = 2 \times 2024 \times \sin(30^\circ) = 2024 \). Bước 2: Tính độ dài SO Vì \( SO \) vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \), nên \( SO \) là đường cao của hình chóp. Ta cần tính độ dài \( SO \). Sử dụng công thức tính diện tích hình thoi: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 2024\sqrt{3} \times 2024 = 2024^2 \sqrt{3} \] Bước 3: Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) Để tính khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \), ta cần tìm hình chiếu vuông góc của \( C \) lên mặt phẳng \( (SBD) \). Do \( SO \) vuông góc với mặt phẳng đáy, nên \( SO \) cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, bao gồm cả \( BD \). Do đó, \( SO \) cũng vuông góc với mặt phẳng \( (SBD) \). Khoảng cách từ \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \) chính là độ dài đoạn thẳng \( CO \), vì \( O \) là hình chiếu của \( C \) lên mặt phẳng \( (SBD) \). Bước 4: Tính toán và kết luận Từ các bước trên, ta có: - \( CO = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 2024\sqrt{3} = 1012\sqrt{3} \). Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ CO \approx 1012 \times 1.732 = 1752 \] Vậy, khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \) là 1752 đơn vị. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình và tối ưu hóa hàm mục tiêu. Bước 1: Đặt ẩn số - Gọi \( x \) là số đơn vị sản phẩm loại X. - Gọi \( y \) là số đơn vị sản phẩm loại Y. Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên số máy trong từng nhóm - Nhóm A: Mỗi đơn vị sản phẩm loại X cần 1 máy, mỗi đơn vị sản phẩm loại Y cần 1 máy. Tổng số máy trong nhóm A là 8. \[ x + y \leq 8 \] - Nhóm B: Mỗi đơn vị sản phẩm loại X cần \(\frac{1}{2}\) máy, mỗi đơn vị sản phẩm loại Y cần \(\frac{2}{1}\) máy. Tổng số máy trong nhóm B là 5. \[ \frac{1}{2}x + 2y \leq 5 \] - Nhóm C: Mỗi đơn vị sản phẩm loại X cần 1 máy, mỗi đơn vị sản phẩm loại Y cần 1 máy. Tổng số máy trong nhóm C là 10. \[ x + y \leq 10 \] Bước 3: Hàm mục tiêu - Tiền lãi từ sản phẩm loại X là 4 nghìn đồng/đơn vị. - Tiền lãi từ sản phẩm loại Y là 6 nghìn đồng/đơn vị. - Hàm mục tiêu cần tối ưu hóa là: \[ L = 4x + 6y \] Bước 4: Giải hệ bất phương trình - Ta có hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} x + y \leq 8 \\ \frac{1}{2}x + 2y \leq 5 \\ x + y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \] Bước 5: Tìm miền khả thi - Miền khả thi là tập hợp các điểm \((x, y)\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trên. Bước 6: Tối ưu hóa hàm mục tiêu - Ta sẽ kiểm tra các đỉnh của miền khả thi để tìm giá trị lớn nhất của \( L \). Đỉnh 1: \( (0, 0) \) \[ L = 4(0) + 6(0) = 0 \] Đỉnh 2: \( (0, 2.5) \) \[ L = 4(0) + 6(2.5) = 15 \] Đỉnh 3: \( (5, 0) \) \[ L = 4(5) + 6(0) = 20 \] Đỉnh 4: \( (4, 4) \) \[ L = 4(4) + 6(4) = 40 \] Đỉnh 5: \( (8, 0) \) \[ L = 4(8) + 6(0) = 32 \] Đỉnh 6: \( (0, 5) \) \[ L = 4(0) + 6(5) = 30 \] Đỉnh 7: \( (10, 0) \) \[ L = 4(10) + 6(0) = 40 \] Bước 7: Kết luận - Giá trị lớn nhất của \( L \) là 40, đạt được tại các điểm \((4, 4)\) và \((10, 0)\). Vậy tổng tiền lãi thu được lớn nhất là 40 nghìn đồng. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tính xác suất để 3 đỉnh được chọn từ đa giác đều 10 đỉnh tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 đỉnh từ 10 đỉnh Số cách chọn 3 đỉnh từ 10 đỉnh là: \[ \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] Bước 2: Tính số cách chọn 3 đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác Để 3 đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác, ta xét các trường hợp sau: 1. Tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác: - Chọn 1 cạnh của đa giác (có 10 cạnh), sau đó chọn 1 đỉnh còn lại không kề với 2 đỉnh đã chọn. Mỗi cạnh có 6 đỉnh không kề với nó (vì đa giác có 10 đỉnh, trừ đi 2 đỉnh kề và 1 đỉnh đối diện). - Số cách chọn là \(10 \times 6 = 60\). 2. Tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác: - Chọn 3 đỉnh liên tiếp tạo thành một tam giác. Có 10 cách chọn như vậy (vì đa giác có 10 cạnh). - Số cách chọn là 10. Tổng số cách chọn 3 đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác là: \[ 60 + 10 = 70 \] Bước 3: Tính số cách chọn 3 đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác Số cách chọn 3 đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là: \[ 120 - 70 = 50 \] Bước 4: Tính xác suất Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là: \[ \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \] Kết luận Vậy xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là \(\frac{5}{12}\). Tổng \(a + b\) là: \[ 5 + 12 = 17 \] Do đó, tổng \(a + b\) bằng 17. Câu 6: Hàm số T(t) có dạng \( T(t) = 6\sin\left(\frac{\pi}{180}(t - k)\right) + 26 \). Biến thiên của hàm số \( \sin \) từ -1 đến 1, do đó biến thiên của hàm số \( T(t) \) sẽ từ \( 6(-1) + 26 = 20 \) đến \( 6(1) + 26 = 32 \). Điều này phù hợp với nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong năm lần lượt là 32°C và 20°C. Ngày 19/7/2025 tương ứng với \( t = 19 + 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 18 = 200 \) (vì tháng 1 có 31 ngày, tháng 2 có 28 ngày, tháng 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, tháng 5 có 31 ngày, tháng 6 có 30 ngày, tháng 7 có 18 ngày trước ngày 19). Ngày 20/01/2025 tương ứng với \( t = 20 \). Do đó, ta có: \[ T(200) = 32 \] \[ T(20) = 20 \] Thay \( t = 200 \) vào hàm số \( T(t) \): \[ 32 = 6\sin\left(\frac{\pi}{180}(200 - k)\right) + 26 \] \[ 6 = 6\sin\left(\frac{\pi}{180}(200 - k)\right) \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{180}(200 - k)\right) = 1 \] \[ \frac{\pi}{180}(200 - k) = \frac{\pi}{2} \] \[ 200 - k = 90 \] \[ k = 110 \] Thay \( t = 20 \) vào hàm số \( T(t) \): \[ 20 = 6\sin\left(\frac{\pi}{180}(20 - k)\right) + 26 \] \[ -6 = 6\sin\left(\frac{\pi}{180}(20 - k)\right) \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{180}(20 - k)\right) = -1 \] \[ \frac{\pi}{180}(20 - k) = -\frac{\pi}{2} \] \[ 20 - k = -90 \] \[ k = 110 \] Vậy giá trị của hằng số \( k \) là 110.