giải giúp ạ

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các công thức liên quan đến xác suất có điều kiện và định lý toàn xác suất. Định lý toàn xác suất: Nếu \( B_1, B_2, \ldots, B_n \) là một phân hoạch của không gian mẫu \( S \) (tức là các biến cố này đôi một xung khắc và hợp lại bằng \( S \)), thì với bất kỳ biến cố \( A \), ta có: \[ P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdots + P(B_n)P(A|B_n) \] Trong trường hợp này, ta chỉ có hai biến cố \( B \) và \( \overline{B} \) (biến cố đối của \( B \)), và chúng tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu. Do đó, áp dụng định lý toàn xác suất cho biến cố \( A \), ta có: \[ P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}) \] Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh công thức này với các lựa chọn đã cho: - A. \( P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}) \) Đây chính là công thức của định lý toàn xác suất mà chúng ta vừa suy ra. Do đó, lựa chọn A là đúng. - B. \( P(A) = P(A)P(A|B) + P(\overline{A})P(A|\overline{B}) \) Công thức này không đúng vì nó không tuân theo định lý toàn xác suất. - C. \( P(A) = P(B)P(A|\overline{B}) + P(\overline{B})P(A|B) \) Công thức này không đúng vì các xác suất có điều kiện bị đảo ngược. - D. \( P(A) = P(B)P(A|B) - P(\overline{B})P(A|\overline{B}) \) Công thức này không đúng vì dấu trừ không phù hợp với định lý toàn xác suất. Vậy, đáp án đúng là A. Câu 4: Để tính xác suất của biến cố A, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất toàn phần. Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố dựa trên xác suất của các biến cố khác liên quan đến nó. Công thức xác suất toàn phần: \[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) \] Trong đó: - \( P(A|B) \) là xác suất của A khi đã biết B xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của B. - \( P(A|\overline{B}) \) là xác suất của A khi đã biết \(\overline{B}\) (không xảy ra B) xảy ra. - \( P(\overline{B}) \) là xác suất của \(\overline{B}\). Biết rằng: \[ P(B) = 0,01 \] \[ P(A|B) = 0,7 \] \[ P(A|\overline{B}) = 0,09 \] Do đó, xác suất của \(\overline{B}\) là: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,01 = 0,99 \] Áp dụng công thức xác suất toàn phần: \[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,7 \times 0,01 + 0,09 \times 0,99 \] \[ P(A) = 0,007 + 0,0891 \] \[ P(A) = 0,0961 \] Vậy đáp án đúng là: B. 0,0961 Câu 5: Để tính xác suất của biến cố A, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất toàn phần. Công thức này cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố dựa trên xác suất của các biến cố khác liên quan đến nó. Công thức xác suất toàn phần: \[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) \] Trong đó: - \( P(A|B) \) là xác suất của A khi đã biết B xảy ra. - \( P(A|\overline{B}) \) là xác suất của A khi đã biết \(\overline{B}\) (không xảy ra B) xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của B. - \( P(\overline{B}) \) là xác suất của \(\overline{B}\). Chúng ta đã biết: \[ P(B) = 0,8 \] \[ P(A|B) = 0,7 \] \[ P(A|\overline{B}) = 0,45 \] Do đó, xác suất của \(\overline{B}\) là: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2 \] Áp dụng công thức xác suất toàn phần: \[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,7 \times 0,8 + 0,45 \times 0,2 \] \[ P(A) = 0,56 + 0,09 \] \[ P(A) = 0,65 \] Vậy đáp án đúng là: B. 0,65. Câu 6: Để tính xác suất có điều kiện \( P(A|B) \), chúng ta sử dụng công thức Bayes: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. \] Trước tiên, ta cần tìm xác suất giao của hai biến cố \( A \) và \( B \), tức là \( P(A \cap B) \). Ta biết rằng: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}. \] Từ đây, ta có thể suy ra: \[ P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A). \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ P(A \cap B) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14. \] Bây giờ, ta thay \( P(A \cap B) \) và \( P(B) \) vào công thức Bayes để tính \( P(A|B) \): \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,14}{0,26}. \] Rút gọn phân số này: \[ P(A|B) = \frac{14}{26} = \frac{7}{13}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{7}{13}}. \] Câu 7: Để tính xác suất có điều kiện \( P(B|A) \), chúng ta sẽ sử dụng công thức Bayes: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}. \] Trước hết, ta cần tìm xác suất \( P(A) \). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: \[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}). \] Biết rằng \( P(B) = 0,8 \) và \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0,2 \), ta thay vào công thức trên: \[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,7 \times 0,8 + 0,45 \times 0,2 \] \[ P(A) = 0,56 + 0,09 \] \[ P(A) = 0,65. \] Tiếp theo, ta cần tìm xác suất \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(A|B)P(B) \] \[ P(A \cap B) = 0,7 \times 0,8 \] \[ P(A \cap B) = 0,56. \] Bây giờ, ta có thể tính \( P(B|A) \): \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] \[ P(B|A) = \frac{0,56}{0,65} \] \[ P(B|A) = \frac{56}{65}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{56}{65}}. \] Câu 8: Để tính xác suất có điều kiện \( P(A|B) \), chúng ta sẽ sử dụng công thức Bayes: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] Trước tiên, ta cần tính xác suất \( P(B) \). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) \] Biết rằng \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \), ta thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot (1 - P(A)) \] \[ P(B) = 0,7 \cdot 0,2 + 0,15 \cdot (1 - 0,2) \] \[ P(B) = 0,7 \cdot 0,2 + 0,15 \cdot 0,8 \] \[ P(B) = 0,14 + 0,12 \] \[ P(B) = 0,26 \] Bây giờ, ta áp dụng công thức Bayes để tính \( P(A|B) \): \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] \[ P(A|B) = \frac{0,7 \cdot 0,2}{0,26} \] \[ P(A|B) = \frac{0,14}{0,26} \] \[ P(A|B) = \frac{14}{26} \] \[ P(A|B) = \frac{7}{13} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{7}{13}} \] Câu 9: Để tính xác suất chọn được phế phẩm từ kho, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất toàn phần. Gọi: - \(A_1\): Sự kiện sản phẩm được sản xuất bởi máy I. - \(A_2\): Sự kiện sản phẩm được sản xuất bởi máy II. - \(B\): Sự kiện sản phẩm là phế phẩm. Theo đề bài, ta có: - Xác suất sản phẩm được sản xuất bởi máy I: \(P(A_1) = 0,35\) - Xác suất sản phẩm được sản xuất bởi máy II: \(P(A_2) = 0,65\) - Xác suất sản phẩm là phế phẩm nếu được sản xuất bởi máy I: \(P(B|A_1) = 0,003\) - Xác suất sản phẩm là phế phẩm nếu được sản xuất bởi máy II: \(P(B|A_2) = 0,007\) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: \[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ P(B) = 0,35 \cdot 0,003 + 0,65 \cdot 0,007 \] \[ P(B) = 0,00105 + 0,00455 \] \[ P(B) = 0,0056 \] Vậy xác suất chọn được phế phẩm là 0,0056. Đáp án đúng là: A. 0,0056. Câu 10: Để tính xác suất chọn được phế phẩm do máy I sản xuất, chúng ta sẽ sử dụng công thức Bayes. Bước 1: Xác định các sự kiện: - Gọi A là sự kiện "chọn được phế phẩm". - Gọi B1 là sự kiện "phế phẩm do máy I sản xuất". - Gọi B2 là sự kiện "phế phẩm do máy II sản xuất". Bước 2: Xác suất của các sự kiện: - Xác suất máy I sản xuất: P(B1) = 0,35 - Xác suất máy II sản xuất: P(B2) = 0,65 - Xác suất phế phẩm do máy I sản xuất: P(A|B1) = 0,003 - Xác suất phế phẩm do máy II sản xuất: P(A|B2) = 0,007 Bước 3: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất chọn được phế phẩm do máy I sản xuất: \[ P(B1|A) = \frac{P(A|B1) \cdot P(B1)}{P(A)} \] Trong đó, P(A) là xác suất chọn được phế phẩm bất kỳ, được tính bằng: \[ P(A) = P(A|B1) \cdot P(B1) + P(A|B2) \cdot P(B2) \] \[ P(A) = 0,003 \cdot 0,35 + 0,007 \cdot 0,65 \] \[ P(A) = 0,00105 + 0,00455 \] \[ P(A) = 0,0056 \] Bây giờ, ta thay vào công thức Bayes: \[ P(B1|A) = \frac{0,003 \cdot 0,35}{0,0056} \] \[ P(B1|A) = \frac{0,00105}{0,0056} \] \[ P(B1|A) = 0,1875 \] Vậy xác suất chọn được phế phẩm do máy I sản xuất là 0,1875. Đáp án đúng là: B. 0,1875. Câu 11: Giả sử tổng số học sinh trong nhóm là 100 người. Số học sinh nam là: \( 100 \times 70\% = 70 \) (người). Số học sinh nữ là: \( 100 - 70 = 30 \) (người). Số học sinh nam biết chơi nhạc cụ là: \( 70 \times 30\% = 21 \) (người). Số học sinh nữ biết chơi nhạc cụ là: \( 30 \times 15\% = 4,5 \) (người). Xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ là: \( \frac{21 + 4,5}{100} = 0,255 \). Đáp án đúng: C. 0,255. Câu 12: Trước hết, chúng ta sẽ tính xác suất để một cư dân bị các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp trong cả hai trường hợp: hút thuốc và không hút thuốc. - Xác suất để một cư dân hút thuốc và bị các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp: \[ P(\text{hút thuốc và bị bệnh}) = P(\text{hút thuốc}) \times P(\text{bị bệnh | hút thuốc}) = 0.25 \times 0.60 = 0.15 \] - Xác suất để một cư dân không hút thuốc và bị các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp: \[ P(\text{không hút thuốc và bị bệnh}) = P(\text{không hút thuốc}) \times P(\text{bị bệnh | không hút thuốc}) = 0.75 \times 0.25 = 0.1875 \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tổng xác suất để một cư dân bị các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp: \[ P(\text{bị bệnh}) = P(\text{hút thuốc và bị bệnh}) + P(\text{không hút thuốc và bị bệnh}) = 0.15 + 0.1875 = 0.3375 \] Cuối cùng, chúng ta sẽ tính xác suất để một cư dân bị các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp là người hút thuốc: \[ P(\text{hút thuốc | bị bệnh}) = \frac{P(\text{hút thuốc và bị bệnh})}{P(\text{bị bệnh})} = \frac{0.15}{0.3375} = \frac{15}{33.75} = \frac{15 \times 100}{33.75 \times 100} = \frac{1500}{3375} = \frac{4}{9} \] Vậy xác suất để một cư dân bị các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp là người hút thuốc là: \[ \boxed{\frac{4}{9}} \]