Tl giup m với

Câu 1: Doanh thu của công ty khi sản xuất Y sản phẩm là: \[ R(Y) = 4Y^2 + 15Y + 10 \] triệu đồng. Câu 2: Doanh thu là tích của số lượng sản phẩm bán ra và giá bán của mỗi sản phẩm. Do đó, ta có: \[ R(x) = x \cdot p(x) = x(Y - 2x) = Yx - 2x^2 \] Doanh thu cận biên là đạo hàm của hàm doanh thu theo x. Ta có: \[ MR(x) = R'(x) = Y - 4x \] Vậy hàm doanh thu là \( R(x) = Yx - 2x^2 \) và hàm doanh thu cận biên là \( MR(x) = Y - 4x \). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính lãi suất đơn và lãi suất liên tục. Phương thức tính lãi theo tháng: Công thức tính lãi suất đơn là: \[ A = P(1 + rt) \] Trong đó: - \( A \) là số tiền cuối kỳ, - \( P \) là số tiền gốc, - \( r \) là lãi suất hàng năm, - \( t \) là thời gian (năm). Chúng ta biết rằng: - \( P = Y + 10 \) triệu đồng, - \( A = Y + 100 \) triệu đồng, - \( r = 6\% = 0.06 \). Thay các giá trị vào công thức: \[ Y + 100 = (Y + 10)(1 + 0.06t) \] Giải phương trình này để tìm \( t \): \[ Y + 100 = (Y + 10) + 0.06(Y + 10)t \] \[ Y + 100 - (Y + 10) = 0.06(Y + 10)t \] \[ 90 = 0.06(Y + 10)t \] \[ t = \frac{90}{0.06(Y + 10)} \] \[ t = \frac{90}{0.06Y + 0.6} \] Làm tròn \( t \) đến 1 chữ số thập phân. Phương thức tính lãi liên tục: Công thức tính lãi suất liên tục là: \[ A = Pe^{rt} \] Trong đó: - \( e \) là hằng số Euler (khoảng 2.71828). Chúng ta biết rằng: - \( P = Y + 10 \) triệu đồng, - \( A = Y + 100 \) triệu đồng, - \( r = 6\% = 0.06 \). Thay các giá trị vào công thức: \[ Y + 100 = (Y + 10)e^{0.06t} \] Giải phương trình này để tìm \( t \): \[ \frac{Y + 100}{Y + 10} = e^{0.06t} \] \[ \ln\left(\frac{Y + 100}{Y + 10}\right) = 0.06t \] \[ t = \frac{\ln\left(\frac{Y + 100}{Y + 10}\right)}{0.06} \] Làm tròn \( t \) đến 1 chữ số thập phân. Kết luận: - Thời gian tối thiểu để bạn A nhận được số dư là \( Y + 100 \) triệu đồng khi đáo hạn với phương thức tính lãi theo tháng là \( t_1 \) năm. - Thời gian tối thiểu để bạn A nhận được số dư là \( Y + 100 \) triệu đồng khi đáo hạn với phương thức tính lãi liên tục là \( t_2 \) năm. Với \( t_1 \) và \( t_2 \) đã được tính toán ở trên. Câu 4: Để tính tốc độ thay đổi và tốc độ thay đổi phần trăm của doanh thu của siêu thị vào đầu năm 2025, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm doanh thu \( R(t) \). Hàm doanh thu đã cho là: \[ R(t) = 5t^2 + Yt + 100 \] Đạo hàm của \( R(t) \) theo \( t \) là: \[ R'(t) = \frac{d}{dt}(5t^2 + Yt + 100) = 10t + Y \] Bước 2: Tính tốc độ thay đổi của doanh thu tại thời điểm \( t = 2 \) (vì đầu năm 2025 tương ứng với \( t = 2 \)). \[ R'(2) = 10(2) + Y = 20 + Y \] Bước 3: Tính tốc độ thay đổi phần trăm của doanh thu tại thời điểm \( t = 2 \). Tốc độ thay đổi phần trăm của doanh thu là tỷ lệ giữa tốc độ thay đổi của doanh thu và doanh thu tại thời điểm đó, nhân với 100%. Doanh thu tại thời điểm \( t = 2 \) là: \[ R(2) = 5(2)^2 + Y(2) + 100 = 20 + 2Y + 100 = 120 + 2Y \] Tốc độ thay đổi phần trăm của doanh thu tại \( t = 2 \) là: \[ \text{Tốc độ thay đổi phần trăm} = \left( \frac{R'(2)}{R(2)} \right) \times 100\% = \left( \frac{20 + Y}{120 + 2Y} \right) \times 100\% \] Vậy, tốc độ thay đổi của doanh thu vào đầu năm 2025 là \( 20 + Y \) và tốc độ thay đổi phần trăm của doanh thu vào đầu năm 2025 là \( \left( \frac{20 + Y}{120 + 2Y} \right) \times 100\% \). Câu 5: Để tính giá của sản phẩm A sau 3+Y tháng tính từ hiện tại, chúng ta cần biết tốc độ thay đổi của giá sản phẩm theo thời gian và giá trị ban đầu. Bước 1: Xác định tốc độ thay đổi của giá sản phẩm. Tốc độ thay đổi của giá sản phẩm A sau x tháng tính từ hiện tại là: 5x + Y nghìn đồng/sản phẩm. Bước 2: Tìm giá trị của sản phẩm sau x tháng. Giá trị của sản phẩm sau x tháng sẽ là tổng của giá trị ban đầu và sự thay đổi giá trị trong x tháng: Giá trị sau x tháng = Giá trị ban đầu + Tích của tốc độ thay đổi và số tháng. Bước 3: Thay giá trị cụ thể vào công thức. Giá trị ban đầu của sản phẩm A là 500 + Y nghìn đồng. Sau 3 + Y tháng, giá trị của sản phẩm A sẽ là: Giá trị sau 3+Y tháng = (500 + Y) + (5(3+Y) + Y) Bước 4: Tính toán giá trị cuối cùng. Giá trị sau 3+Y tháng = 500 + Y + 15 + 5Y + Y Giá trị sau 3+Y tháng = 500 + 15 + Y + 5Y + Y Giá trị sau 3+Y tháng = 515 + 7Y Vậy, giá của sản phẩm A sau 3+Y tháng tính từ hiện tại là 515 + 7Y nghìn đồng. Câu 6: Để tính thay đổi trong doanh thu khi lượng sản xuất thay đổi từ 1 đến Y+1 đơn vị sản phẩm, chúng ta cần tích phân hàm doanh thu cận biên \( R(x) \) từ 1 đến Y+1. Bước 1: Viết hàm doanh thu cận biên: \[ R(x) = 3x^2 + 4x + 2 \] Bước 2: Tích phân hàm doanh thu cận biên từ 1 đến Y+1: \[ \Delta R = \int_{1}^{Y+1} (3x^2 + 4x + 2) \, dx \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của \( 3x^2 + 4x + 2 \): \[ \int (3x^2 + 4x + 2) \, dx = x^3 + 2x^2 + 2x + C \] Bước 4: Đánh giá tích phân từ 1 đến Y+1: \[ \Delta R = \left[ x^3 + 2x^2 + 2x \right]_{1}^{Y+1} \] \[ \Delta R = \left( (Y+1)^3 + 2(Y+1)^2 + 2(Y+1) \right) - \left( 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 \right) \] Bước 5: Tính giá trị tại \( x = Y+1 \): \[ (Y+1)^3 = Y^3 + 3Y^2 + 3Y + 1 \] \[ 2(Y+1)^2 = 2(Y^2 + 2Y + 1) = 2Y^2 + 4Y + 2 \] \[ 2(Y+1) = 2Y + 2 \] Tổng hợp lại: \[ (Y+1)^3 + 2(Y+1)^2 + 2(Y+1) = Y^3 + 3Y^2 + 3Y + 1 + 2Y^2 + 4Y + 2 + 2Y + 2 \] \[ = Y^3 + 5Y^2 + 9Y + 5 \] Bước 6: Tính giá trị tại \( x = 1 \): \[ 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 + 2 = 5 \] Bước 7: Tính thay đổi trong doanh thu: \[ \Delta R = (Y^3 + 5Y^2 + 9Y + 5) - 5 \] \[ \Delta R = Y^3 + 5Y^2 + 9Y \] Vậy, thay đổi trong doanh thu khi lượng sản xuất thay đổi từ 1 đến Y+1 đơn vị sản phẩm là: \[ \boxed{Y^3 + 5Y^2 + 9Y} \] (triệu đồng) Câu 7: Doanh thu khi sản xuất sản phẩm thứ Y+1 là: $R(Y+1)=200(Y+1)-3(Y+1)^2$ $=200Y+200-3(Y^2+2Y+1)$ $=200Y+200-3Y^2-6Y-3$ $=-3Y^2+194Y+197$ Doanh thu thực tế khi sản xuất sản phẩm thứ Y+1 là: $R(Y+1)-R(Y)$ $=(-3Y^2+194Y+197)-(200Y-3Y^2)$ $=-3Y^2+194Y+197-200Y+3Y^2$ $= -6Y + 197$ Câu 8: Doanh thu của sản phẩm sau x tháng tính từ hiện tại được cho bởi: \[ R(x) = \int R'(x) \, dx + C \] \[ R(x) = \int (3x^2 + 4x + 1) \, dx + C \] \[ R(x) = x^3 + 2x^2 + x + C \] Sử dụng điều kiện ban đầu \( R(0) = 100 \): \[ R(0) = 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 0 + C = 100 \] \[ C = 100 \] Do đó, doanh thu của sản phẩm sau x tháng tính từ hiện tại là: \[ R(x) = x^3 + 2x^2 + x + 100 \] Doanh thu của sản phẩm sau \( Y + 1 \) tháng tính từ hiện tại là: \[ R(Y + 1) = (Y + 1)^3 + 2(Y + 1)^2 + (Y + 1) + 100 \] \[ R(Y + 1) = (Y + 1)^3 + 2(Y + 1)^2 + (Y + 1) + 100 \] Vậy doanh thu của sản phẩm sau \( Y + 1 \) tháng tính từ hiện tại là: \[ R(Y + 1) = (Y + 1)^3 + 2(Y + 1)^2 + (Y + 1) + 100 \] Câu 9: Doanh thu là tích của giá bán và lượng sản phẩm đã bán ra, tức là: \[ R(x) = p(x) \cdot x = (-2x + 500)x = -2x^2 + 500x \] Hàm doanh thu cận biên là đạo hàm của hàm doanh thu theo biến \( x \): \[ MR(x) = R'(x) = -4x + 500 \] Để doanh thu đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm điểm cực đại của hàm doanh thu. Điều này xảy ra khi đạo hàm của hàm doanh thu bằng 0: \[ R'(x) = 0 \] \[ -4x + 500 = 0 \] \[ 4x = 500 \] \[ x = 125 \] Vậy mức sản xuất để doanh thu đạt lớn nhất là \( x = 125 \). Tóm lại: - Biểu thức hàm doanh thu cận biên là \( MR(x) = -4x + 500 \). - Mức sản xuất để doanh thu đạt lớn nhất là \( x = 125 \). Câu 10: Để tính và nêu ý nghĩa của \( P'(5) \) cho hàm lợi nhuận \( P(x) = -Yx^2 + 200x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận \( P(x) \). \[ P(x) = -Yx^2 + 200x \] Đạo hàm của \( P(x) \) theo \( x \) là: \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(-Yx^2 + 200x) \] \[ P'(x) = -2Yx + 200 \] Bước 2: Thay \( x = 5 \) vào đạo hàm \( P'(x) \). \[ P'(5) = -2Y(5) + 200 \] \[ P'(5) = -10Y + 200 \] Bước 3: Nêu ý nghĩa của \( P'(5) \). \( P'(5) \) đại diện cho tốc độ thay đổi của lợi nhuận tại thời điểm sản xuất 5 đơn vị sản phẩm. Nếu \( P'(5) > 0 \), thì lợi nhuận đang tăng khi sản xuất thêm mỗi đơn vị sản phẩm từ 5 trở đi. Nếu \( P'(5) < 0 \), thì lợi nhuận đang giảm khi sản xuất thêm mỗi đơn vị sản phẩm từ 5 trở đi. Do đó, \( P'(5) = -10Y + 200 \) cho biết tốc độ thay đổi của lợi nhuận khi sản xuất 5 đơn vị sản phẩm.