Giải chi tiết giúp e ạ

Câu 2: Do \(-\pi < x < -\frac{\pi}{2}\) nên \(\sin x < 0\) và \(\cos x < 0\). Ta có: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{4} \] Suy ra: \[ \sin x = \frac{3}{4} \cos x \] Ta biết rằng: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay \(\sin x = \frac{3}{4} \cos x\) vào phương trình trên: \[ \left( \frac{3}{4} \cos x \right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{16} \cos^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{16} \cos^2 x + \frac{16}{16} \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{25}{16} \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = \frac{16}{25} \] \[ \cos x = -\frac{4}{5} \quad (\text{vì } \cos x < 0) \] Từ đó suy ra: \[ \sin x = \frac{3}{4} \cos x = \frac{3}{4} \left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{3}{5} \] Tiếp theo, ta tính \(\cot x\): \[ \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{4}{3} \] Cuối cùng, ta tính \(\sec x\) và \(\csc x\): \[ \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{4}{5}} = -\frac{5}{4} \] \[ \csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \] Vậy các giá trị lượng giác còn lại là: \[ \sin x = -\frac{3}{5}, \quad \cos x = -\frac{4}{5}, \quad \cot x = \frac{4}{3}, \quad \sec x = -\frac{5}{4}, \quad \csc x = -\frac{5}{3} \] Câu 3: Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{3\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} \) khi biết \( \tan\alpha = 10 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biểu diễn \( \sin\alpha \) và \( \cos\alpha \) theo \( \tan\alpha \). Ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 10 \] \[ \Rightarrow \sin\alpha = 10\cos\alpha \] Bước 2: Thay \( \sin\alpha = 10\cos\alpha \) vào biểu thức \( A \). \[ A = \frac{3(10\cos\alpha) + \cos\alpha}{10\cos\alpha - \cos\alpha} \] \[ A = \frac{30\cos\alpha + \cos\alpha}{9\cos\alpha} \] \[ A = \frac{31\cos\alpha}{9\cos\alpha} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức. \[ A = \frac{31}{9} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = \frac{31}{9} \] Câu 4: Do \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) nên \(\cos \alpha <0\). Ta có: \[ \cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=-\frac{2\sqrt2}{3} \] Ta có: \[ \cos\left(\alpha-\frac\pi6\right)=\cos \alpha \cos \frac\pi6+\sin \alpha \sin \frac\pi6= -\frac{2\sqrt2}{3}\cdot \frac{\sqrt3}{2}+\frac13\cdot \frac12= \frac{1-2\sqrt6}{6} \]