Giúp mình với! câu b

a) Tính DC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn  
C

Cho ΔABC nhọn có đường cao AD (D∈BC). Giả sử AD=12 cm; AC=15 cm.

Vì AD là đường cao, nên ΔADC là tam giác vuông tại D.

Tính cạnh DC: Áp dụng định lý Pytago trong ΔADC vuông tại D:

AC 
2
=AD 
2
+DC 
2

15 
2
=12 
2
+DC 
2

225=144+DC 
2

DC 
2
=225−144=81
DC= 
81

​
=9 cm
Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn  
C

: Trong ΔADC vuông tại D:

Cạnh đối (AD) =12 cm.

Cạnh kề (DC) =9 cm.

Cạnh huyền (AC) =15 cm.

sin 
C

= 
Cạnh huy 
e
ˆ

ˋ
n
Cạnh đ 
o
ˆ

ˊ
i
​
= 
AC
AD
​
= 
15
12
​
= 
5
4
​

cos 
C

= 
Cạnh huy 
e
ˆ

ˋ
n
Cạnh k 
e
ˆ

ˋ

​
= 
AC
DC
​
= 
15
9
​
= 
5
3
​

tan 
C

= 
Cạnh k 
e
ˆ

ˋ

Cạnh đ 
o
ˆ

ˊ
i
​
= 
DC
AD
​
= 
9
12
​
= 
3
4
​

cot 
C

= 
Cạnh đ 
o
ˆ

ˊ
i
Cạnh k 
e
ˆ

ˋ

​
= 
AD
DC
​
= 
12
9
​
= 
4
3
​

b) Chứng minh tan 
ABC

.tan 
ACB

=3
Vẽ đường cao BI (I∈AC) của ΔABC, cắt AD tại H (trực tâm). Giả sử HD= 
3
1
​
AD.

Ta có:

Tính tan 
ABC

 và tan 
ACB

:

Trong ΔADB vuông tại D:

tan 
ABC

=tan 
ABD

= 
BD
AD
​

Trong ΔADC vuông tại D:

tan 
ACB

=tan 
ACD

= 
DC
AD
​

Xét tích tan 
ABC

⋅tan 
ACB

:

tan 
ABC

⋅tan 
ACB

= 
BD
AD
​
⋅ 
DC
AD
​
= 
BD⋅DC
AD 
2

​
(∗)
Áp dụng hệ thức lượng vào ΔABH và ΔCDH:

Xét ΔABD vuông tại D. Ta có  
DAB

+ 
ABD

=90 
∘
.

H là trực tâm, BI⊥AC và AD⊥BC.

Xét ΔHDB vuông tại D:

tan 
HBD

= 
BD
HD
​
( 
HBD

≡ 
ABD

≡ 
ABC

)
⇒BD= 
tan 
ABC

HD
​

Xét ΔHDC vuông tại D. Ta có  
DHC

+ 
HCD

=90 
∘
.

Xét ΔAIC vuông tại I:  
IAC

+ 
HCA

=90 
∘
.

Mặt khác,  
DBH

= 
DAC

 (cùng phụ với  
ACD

).

Sử dụng tính chất đồng dạng hoặc hệ thức lượng: Xét ΔHDB và ΔADC: Hai tam giác này không đồng dạng trực tiếp.

Ta sử dụng tính chất quan trọng của trực tâm: Xét ΔHBD vuông tại D và ΔCAD vuông tại D. Ta có  
HBD

= 
DAC

 (cùng phụ với  
BCA

). (Sai) Ta có  
CAD

= 
HBI

 (cùng phụ với  
ACB

)

Ta có:

tan 
BCA

= 
DC
AD
​
⇒DC= 
tan 
BCA

AD
​
 

tan 
ABC

= 
BD
AD
​
⇒BD= 
tan 
ABC

AD
​
 

Xét ΔHDC vuông tại D và ΔADB vuông tại D. Do H là trực tâm, ta có ΔHDC đồng dạng với ΔBDA (g-g) vì:

HDC

= 
BDA

=90 
∘
 

DCH

= 
DAB

 (cùng phụ với  
ABD

) → (Sai,  
DCH

 không phụ với  
ABD

)

Sử dụng tính chất  
CAD

= 
HBI

:

Trong ΔBDI vuông tại I:  
IBD

= 
ABC

Trong ΔBDH vuông tại D:

tan 
ABC

= 
BD
HD
​

⇒BD= 
tan 
ABC

HD
​

Trong ΔCDA vuông tại D:

tan 
ACB

= 
DC
AD
​

⇒DC= 
tan 
ACB

AD
​

Xét ΔBDH và ΔADC: Ta có  
HBD

= 
CAD

 (cùng phụ với  
ACB

) → (Sai,  
HBD

= 
ABC

)

Sử dụng Tích tan theo AD:

Thay BD và DC vào biểu thức (∗):

tan 
ABC

⋅tan 
ACB

= 
BD⋅DC
AD 
2

​

Ta cần tìm mối liên hệ giữa BD⋅DC và AD 
2
 thông qua HD. Xét ΔCDH và ΔBDA. Chúng đồng dạng nếu  
DCH

= 
HAB

.

Xét ΔBDH và ΔCDA Ta có  
DBH

= 
DAC

 (cùng phụ với  
ACB

). (Đúng)

Chứng minh ΔBDH∼ΔADC:

BDH

= 
ADC

=90 
∘
.

DBH

= 
DAC

 (cùng phụ với  
ACB

).

⇒ΔBDH∼ΔADC(g-g)
Lập tỉ số đồng dạng:

AD
BD
​
= 
DC
DH
​

⇒BD⋅DC=AD⋅DH
Thay vào biểu thức (∗):

tan 
ABC

⋅tan 
ACB

= 
BD⋅DC
AD 
2

​
= 
AD⋅DH
AD 
2

​
= 
DH
AD
​

Sử dụng giả thiết HD= 
3
1
​
AD:

DH
AD
​
= 
3
1
​
AD
AD
​
=3
Vậy, tan 
ABC

⋅tan 
ACB

=3 (ĐPCM).