Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để chứng minh \( MG \) song song với mặt phẳng \((BCD)\), ta cần chứng minh rằng \( MG \) không cắt mặt phẳng \((BCD)\) và không nằm trong mặt phẳng này. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm \( G \) và \( M \) Giả sử \( A, B, C, D \) có tọa độ lần lượt là \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \), \( D(x_4, y_4, z_4) \). - Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] - Điểm \( M \) trên \( AD \) sao cho \( AM = 2MD \) có tọa độ: \[ M\left(\frac{2x_4 + x_1}{3}, \frac{2y_4 + y_1}{3}, \frac{2z_4 + z_1}{3}\right) \] Bước 2: Tìm vectơ \( \overrightarrow{MG} \) Vectơ \( \overrightarrow{MG} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{MG} = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} - \frac{2x_4 + x_1}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} - \frac{2y_4 + y_1}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} - \frac{2z_4 + z_1}{3}\right) \] \[ = \left(\frac{x_2 + x_3 - 2x_4}{3}, \frac{y_2 + y_3 - 2y_4}{3}, \frac{z_2 + z_3 - 2z_4}{3}\right) \] Bước 3: Chứng minh \( MG \) song song với mặt phẳng \((BCD)\) Để \( MG \) song song với mặt phẳng \((BCD)\), vectơ \( \overrightarrow{MG} \) phải là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((BCD)\). Giả sử hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((BCD)\) là: \[ \overrightarrow{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2, z_3 - z_2) \] \[ \overrightarrow{BD} = (x_4 - x_2, y_4 - y_2, z_4 - z_2) \] Ta cần chứng minh rằng: \[ \overrightarrow{MG} = a \cdot \overrightarrow{BC} + b \cdot \overrightarrow{BD} \] Thay các giá trị vào và giải hệ phương trình để tìm \( a \) và \( b \). Nếu hệ phương trình có nghiệm, thì \( MG \) song song với mặt phẳng \((BCD)\). Kết luận: Nếu tìm được \( a \) và \( b \) thỏa mãn, ta kết luận rằng \( MG \) song song với mặt phẳng \((BCD)\). Nếu không, cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc điều kiện ban đầu.