Câu $\rm 2.$ Đúng/Sai.

Câu 2: a) Ta có \( u_7 = 7^2 + 7 = 49 + 7 = 56 \). Vậy \( u_7 = 56 \neq 65 \). Mệnh đề này sai. b) Giả sử số 5800 là một số hạng của dãy số \( (u_n) \). Khi đó tồn tại \( n \) sao cho \( n^2 + n = 5800 \). Ta có phương trình: \[ n^2 + n - 5800 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 5800}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{23201}}{2} \] Tính giá trị của \( \sqrt{23201} \): \[ \sqrt{23201} \approx 152.32 \] Do đó: \[ n = \frac{-1 + 152.32}{2} \approx 75.66 \] \[ n = \frac{-1 - 152.32}{2} \approx -76.66 \] Vì \( n \) phải là số tự nhiên, nên chỉ lấy giá trị dương: \[ n \approx 75.66 \] Vậy \( n \) không phải là số tự nhiên, do đó số 5800 không phải là số hạng của dãy số \( (u_n) \). Mệnh đề này sai. c) Để xét tính tăng giảm của dãy số \( (u_n) \), ta so sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} = (n+1)^2 + (n+1) = n^2 + 2n + 1 + n + 1 = n^2 + 3n + 2 \] \[ u_n = n^2 + n \] Xét hiệu: \[ u_{n+1} - u_n = (n^2 + 3n + 2) - (n^2 + n) = 2n + 2 \] Vì \( 2n + 2 > 0 \) với mọi \( n \geq 1 \), nên \( u_{n+1} > u_n \) với mọi \( n \geq 1 \). Do đó, dãy số \( (u_n) \) là dãy số tăng. Mệnh đề này đúng. d) Ta có: \[ S_n = \frac{5}{u_1} + \frac{5}{u_2} + \cdots + \frac{5}{u_n} \] Xét tổng: \[ S_n = 5 \left( \frac{1}{1^2 + 1} + \frac{1}{2^2 + 2} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n} \right) \] Chú ý rằng: \[ \frac{1}{k^2 + k} = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] Do đó: \[ S_n = 5 \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right) \] Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu nhau, còn lại: \[ S_n = 5 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 5 \left( \frac{n}{n+1} \right) \] Vì \( \frac{n}{n+1} < 1 \), nên: \[ S_n < 5 \] Do đó, dãy số \( (S_n) \) bị chặn trên bởi 5, nhưng không bị chặn trên bởi \( \frac{49}{10} \). Mệnh đề này sai.