giải chi tiết

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm tổng của tất cả các số hạng trong cấp số nhân đã cho. Trước tiên, ta cần xác định các yếu tố cơ bản của cấp số nhân. Bước 1: Xác định công bội \( q \) Cấp số nhân có các số hạng đầu tiên là \( \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, \ldots \). Để tìm công bội \( q \), ta lấy số hạng thứ hai chia cho số hạng thứ nhất: \[ q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \] Bước 2: Xác định số hạng đầu tiên \( a \) Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \( a = \frac{1}{4} \). Bước 3: Xác định số hạng cuối cùng Số hạng cuối cùng của cấp số nhân là 4096. Bước 4: Tìm số hạng thứ \( n \) Số hạng tổng quát của cấp số nhân được tính theo công thức: \[ a_n = a \cdot q^{n-1} \] Với \( a_n = 4096 \), ta có: \[ 4096 = \frac{1}{4} \cdot 2^{n-1} \] Nhân cả hai vế với 4: \[ 16384 = 2^{n-1} \] Ta có \( 16384 = 2^{14} \), do đó: \[ 2^{n-1} = 2^{14} \implies n-1 = 14 \implies n = 15 \] Bước 5: Tính tổng của cấp số nhân Tổng của cấp số nhân có \( n \) số hạng được tính theo công thức: \[ S_n = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ S_{15} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{15} - 1}{2 - 1} = \frac{1}{4} \cdot (2^{15} - 1) \] Tính \( 2^{15} \): \[ 2^{15} = 32768 \] Do đó: \[ S_{15} = \frac{1}{4} \cdot (32768 - 1) = \frac{1}{4} \cdot 32767 = 8191.75 \] Vậy tổng của tất cả các số hạng trong cấp số nhân đã cho là \( 8191.75 \). Câu 2: Để tính độ dài cung nhỏ \(AB\) trên mặt đồng hồ, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của đường tròn: Đường kính của đồng hồ là 60 cm, do đó bán kính \(r\) là: \[ r = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm} \] 2. Xác định góc tạo bởi kim chỉ số 2 và số 9: Mỗi số trên đồng hồ cách nhau một góc \(30^\circ\) (vì \(360^\circ\) chia cho 12 số). - Từ số 2 đến số 9 có 7 khoảng cách, do đó góc \(\angle AOB\) là: \[ \angle AOB = 7 \times 30^\circ = 210^\circ \] 3. Tính độ dài cung nhỏ \(AB\): Độ dài cung nhỏ \(AB\) được tính bằng công thức: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \] Trong đó \(\theta\) là góc ở tâm, và \(r\) là bán kính. - Góc nhỏ hơn giữa \(A\) và \(B\) là \(360^\circ - 210^\circ = 150^\circ\). - Thay vào công thức: \[ L = \frac{150}{360} \times 2\pi \times 30 \] 4. Tính toán: \[ L = \frac{5}{12} \times 60\pi = 25\pi \] - Sử dụng \(\pi \approx 3.14\), ta có: \[ L \approx 25 \times 3.14 = 78.5 \text{ cm} \] Vậy, độ dài cung nhỏ \(AB\) là khoảng \(78.5\) cm. Câu 3: Sau tháng thứ nhất, số tiền ông An có là: \[ 30 + 30 \times 0,6\% = 30 + 30 \times 0,006 = 30 + 0,18 = 30,18 \text{ triệu đồng} \] Sau tháng thứ hai, số tiền ông An có là: \[ 30,18 + 30,18 \times 0,6\% = 30,18 + 30,18 \times 0,006 = 30,18 + 0,18108 = 30,36108 \text{ triệu đồng} \] Vậy số tiền ông An có được sau tháng thứ hai là khoảng 30,36108 triệu đồng. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định số hộp sữa ở hàng dưới cùng trong một dãy xếp theo quy luật đã cho. Bước 1: Xác định quy luật xếp hộp sữa - Hàng trên cùng có 1 hộp sữa. - Mỗi hàng phía dưới có nhiều hơn 2 hộp so với hàng ngay trên nó. Do đó, số hộp sữa ở các hàng lần lượt là: 1, 3, 5, 7, ... Bước 2: Thiết lập công thức tổng số hộp sữa Dãy số hộp sữa theo hàng là dãy số lẻ liên tiếp: 1, 3, 5, 7, ..., \(2n-1\). Tổng số hộp sữa của \(n\) hàng là tổng của dãy số lẻ đầu tiên: \[ S_n = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) \] Tổng của dãy số lẻ đầu tiên là: \[ S_n = n^2 \] Bước 3: Tìm số hàng \(n\) sao cho tổng số hộp sữa là 900 Ta có phương trình: \[ n^2 = 900 \] Giải phương trình: \[ n = \sqrt{900} = 30 \] Bước 4: Tìm số hộp sữa ở hàng dưới cùng Số hộp sữa ở hàng dưới cùng là \(2n-1\): \[ 2n-1 = 2 \times 30 - 1 = 59 \] Kết luận Hàng dưới cùng có 59 hộp sữa. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định công sai của cấp số cộng. 2. Tìm biểu thức tổng quát của số hạng thứ n của cấp số cộng. 3. Tính tổng yêu cầu. Bước 1: Xác định công sai của cấp số cộng. Cấp số cộng có số hạng đầu \( u_1 = 1 \) và tổng 100 số hạng đầu bằng 14950. Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_{100} = \frac{100}{2} (2 \cdot 1 + (100-1)d) = 14950 \] \[ 50 (2 + 99d) = 14950 \] \[ 2 + 99d = \frac{14950}{50} \] \[ 2 + 99d = 299 \] \[ 99d = 297 \] \[ d = 3 \] Bước 2: Tìm biểu thức tổng quát của số hạng thứ n của cấp số cộng. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_n = 1 + (n-1) \cdot 3 \] \[ u_n = 3n - 2 \] Bước 3: Tính tổng yêu cầu. Tổng cần tính là: \[ \sum_{k=1}^{49} \frac{1}{u_k u_{k+1}} \] Thay \( u_k = 3k - 2 \) và \( u_{k+1} = 3(k+1) - 2 = 3k + 1 \): \[ \sum_{k=1}^{49} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} \] Phân tích thành phân số riêng lẻ: \[ \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1} \] Giải phương trình để tìm A và B: \[ 1 = A(3k+1) + B(3k-2) \] \[ 1 = (3A + 3B)k + (A - 2B) \] So sánh hệ số: \[ 3A + 3B = 0 \] \[ A - 2B = 1 \] Giải hệ phương trình: \[ A = -\frac{1}{3}, \quad B = \frac{1}{3} \] Do đó: \[ \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{-\frac{1}{3}}{3k-2} + \frac{\frac{1}{3}}{3k+1} \] \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k+1} - \frac{1}{3k-2} \right) \] Tổng cần tính trở thành: \[ \sum_{k=1}^{49} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k+1} - \frac{1}{3k-2} \right) \] Nhận thấy rằng đây là một dãy telescopical (dạng tổng suy giảm): \[ \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{1} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{148} - \frac{1}{145} \right) \right] \] Hầu hết các số hạng sẽ triệt tiêu, chỉ còn lại: \[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{148} - 1 \right) \] \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{148} - \frac{148}{148} \right) \] \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1 - 148}{148} \right) \] \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{-147}{148} \right) \] \[ = \frac{-147}{444} \] \[ = \frac{-49}{148} \] Vậy tổng cần tìm là: \[ \boxed{\frac{49}{148}} \] Câu 5: Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{2\sin\alpha - 5\cos\alpha} \) khi biết \( \cot\alpha = \frac{1}{3} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biến đổi \( \cot\alpha \) thành tỉ số lượng giác cơ bản: \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{3} \] Do đó: \[ \cos\alpha = \frac{1}{3}\sin\alpha \] Bước 2: Thay \( \cos\alpha \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{3\sin\alpha + 4\left(\frac{1}{3}\sin\alpha\right)}{2\sin\alpha - 5\left(\frac{1}{3}\sin\alpha\right)} \] Bước 3: Rút gọn các hạng tử trong tử số và mẫu số: \[ A = \frac{3\sin\alpha + \frac{4}{3}\sin\alpha}{2\sin\alpha - \frac{5}{3}\sin\alpha} \] \[ A = \frac{\left(3 + \frac{4}{3}\right)\sin\alpha}{\left(2 - \frac{5}{3}\right)\sin\alpha} \] \[ A = \frac{\left(\frac{9}{3} + \frac{4}{3}\right)\sin\alpha}{\left(\frac{6}{3} - \frac{5}{3}\right)\sin\alpha} \] \[ A = \frac{\frac{13}{3}\sin\alpha}{\frac{1}{3}\sin\alpha} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{13}{3} \div \frac{1}{3} \] \[ A = \frac{13}{3} \times \frac{3}{1} \] \[ A = 13 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( 13 \). Câu 6: Ta có \( u_n = \frac{167}{84} \Leftrightarrow \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{167}{84} \) \(\Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2)\) \(\Leftrightarrow 168n + 84 = 167n + 334\) \(\Leftrightarrow n = 250\) Vậy số \(\frac{167}{84}\) là số hạng thứ 250 của dãy số đã cho. Câu 7: Số ghế ở mỗi dãy tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu \( u_1 = 15 \) và công sai \( d = 4 \). Số ghế ở dãy thứ 30 là: \[ u_{30} = u_1 + (30 - 1)d = 15 + 29 \times 4 = 131 \] Tổng số ghế trong khán phòng là: \[ S_{30} = \frac{(u_1 + u_{30}) \times 30}{2} = \frac{(15 + 131) \times 30}{2} = 2190 \] Vậy khán phòng đó có tất cả 2190 ghế. Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần tìm số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân \((u_n)\) với các thông tin đã cho: \( u_1 = 5 \), \( u_5 = 405 \), và tổng \( S_n = 1820 \). Bước 1: Tìm công bội \( q \) của cấp số nhân Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Với \( u_5 = 405 \), ta có: \[ u_5 = u_1 \cdot q^{4} = 5 \cdot q^4 = 405 \] Giải phương trình này để tìm \( q \): \[ q^4 = \frac{405}{5} = 81 \] Do đó, \( q = \sqrt[4]{81} = 3 \). Bước 2: Tìm số hạng thứ \( n \) với tổng \( S_n = 1820 \) Công thức tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 1820 = 5 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} \] \[ 1820 = 5 \cdot \frac{3^n - 1}{2} \] Nhân cả hai vế với 2 để loại mẫu: \[ 3640 = 5 \cdot (3^n - 1) \] Chia cả hai vế cho 5: \[ 728 = 3^n - 1 \] Do đó: \[ 3^n = 729 \] Nhận thấy \( 729 = 3^6 \), nên: \[ 3^n = 3^6 \] Suy ra: \[ n = 6 \] Vậy, số hạng thứ \( n \) là \( n = 6 \). Câu 9: Để giải bài toán này, ta cần tìm số hàng cây trong khu vườn, biết rằng số cây trong mỗi hàng tạo thành một dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Ta có dãy số cây trong các hàng là: 1, 2, 3, ..., n. Tổng số cây trong n hàng là tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến n, được tính theo công thức: \[ S = \frac{n(n+1)}{2} \] Theo đề bài, tổng số cây là 465, do đó ta có phương trình: \[ \frac{n(n+1)}{2} = 465 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n(n+1) = 930 \] Giải phương trình bậc hai: \[ n^2 + n - 930 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -930\), ta có: \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 930}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{3721}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm 61}{2} \] Ta có hai nghiệm: 1. \(n = \frac{-1 + 61}{2} = 30\) 2. \(n = \frac{-1 - 61}{2} = -31\) (loại vì n không thể âm) Vậy số hàng cây trong khu vườn là 30.