Câu $\rm 1;2$.

Câu 1: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{2\cos x + 5\sin x}{\cos x - 3\sin x} \) khi biết rằng \(\tan x = 1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(\sin x\) và \(\cos x\): Vì \(\tan x = 1\), ta có: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \implies \sin x = \cos x \] Ta cũng biết rằng: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay \(\sin x = \cos x\) vào phương trình trên: \[ \cos^2 x + \cos^2 x = 1 \implies 2\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó: \[ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] 2. Thay giá trị của \(\sin x\) và \(\cos x\) vào biểu thức \(P\): Ta sẽ xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) \[ P = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{\frac{-2\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = -\frac{7}{2} = -3.5 \] - Trường hợp 2: \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) \[ P = \frac{2 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-\sqrt{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{-2\sqrt{2} - 5\sqrt{2}}{2}}{\frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{-7\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{2}} = \frac{-7\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\frac{7}{2} = -3.5 \] 3. Kết luận: Dù trong trường hợp nào, giá trị của \(P\) đều là \(-3.5\). Do đó, giá trị của biểu thức \(P\) là: \[ \boxed{-3.5} \] Câu 2: Để giải phương trình \(\cos3x + \cos2x = 0\) trong khoảng \((-50\pi; 50\pi)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi phương trình: \[ \cos3x + \cos2x = 0 \] Ta có thể sử dụng công thức cộng góc để biến đổi: \[ \cos3x = \cos(2x + x) = \cos2x \cos x - \sin2x \sin x \] Thay vào phương trình: \[ \cos2x \cos x - \sin2x \sin x + \cos2x = 0 \] Gom nhóm các hạng tử có \(\cos2x\): \[ \cos2x (\cos x + 1) - \sin2x \sin x = 0 \] 2. Phân tích từng trường hợp: - Trường hợp 1: \(\cos2x = 0\) \[ \cos2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \] Kiểm tra các giá trị \(x\) trong khoảng \((-50\pi; 50\pi)\): \[ -50\pi < \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} < 50\pi \] \[ -50 < \frac{1}{4} + \frac{k}{2} < 50 \] \[ -100 < \frac{1}{2} + k < 100 \] \[ -100.5 < k < 99.5 \] Số giá trị nguyên của \(k\) từ \(-100\) đến \(99\) là \(200\). - Trường hợp 2: \(\cos x + 1 = 0\) \[ \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 \] \[ x = \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Kiểm tra các giá trị \(x\) trong khoảng \((-50\pi; 50\pi)\): \[ -50\pi < \pi + 2k\pi < 50\pi \] \[ -50 < 1 + 2k < 50 \] \[ -51 < 2k < 49 \] \[ -25.5 < k < 24.5 \] Số giá trị nguyên của \(k\) từ \(-25\) đến \(24\) là \(50\). 3. Kết luận: Tổng số nghiệm trong khoảng \((-50\pi; 50\pi)\) là: \[ 200 + 50 = 250 \] Đáp số: 250 nghiệm.