Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.59) a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau b) Chứng minh tứ...

Lời giải chi tiếtCho $\Delta ABC$ vuông tại $A$. $M$ là trung điểm của $BC$. $MP \perp AC$ tại $P$, $MN \perp AB$ tại $N$.a) Chứng minh $\Delta CMP \cong \Delta MBN$Xét hai tam giác vuông $\Delta CMP$ (vuông tại $P$) và $\Delta MBN$ (vuông tại $N$).Cạnh huyền bằng nhau:$MC = MB$ (Vì $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$).Góc nhọn bằng nhau:Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.Vì $MP \perp AC$ và $MN \perp AB$, mà $AC \perp AB$, suy ra $MN \parallel AC$ và $MP \parallel AB$.Xét $\Delta MBN$ vuông tại $N$: $\widehat{B} + \widehat{NMB} = 90^\circ$.Từ hai điều trên, ta suy ra $\widehat{NMB} = \widehat{C}$ (cùng phụ với $\widehat{B}$).Kết luận: $\Delta CMP$ và $\Delta MBN$ có cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau:$\Delta CMP \cong \Delta MBN \quad \text{(cạnh huyền - góc nhọn)}$b) Chứng minh tứ giác $APMN$ là hình chữ nhật. Suy ra $N, P$ là trung điểm1. Chứng minh $APMN$ là hình chữ nhật:Xét tứ giác $APMN$, ta có:$\widehat{PAN} = 90^\circ$ (Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$).$\widehat{APM} = 90^\circ$ (Vì $MP \perp AC$).$\widehat{ANM} = 90^\circ$ (Vì $MN \perp AB$).Một tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.Kết luận: $APMN$ là hình chữ nhật.2. Suy ra $N$ là trung điểm của $AB$, $P$ là trung điểm của $AC$:P là trung điểm của AC:Trong $\Delta ABC$, ta có $M$ là trung điểm của $BC$ (gt).$MP \perp AC$ và $AB \perp AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$). $\Rightarrow MP \parallel AB$.Theo Định lí đường trung bình trong tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.Vậy $P$ là trung điểm của $AC$.N là trung điểm của AB:Trong $\Delta ABC$, ta có $M$ là trung điểm của $BC$ (gt).$MN \perp AB$ và $AC \perp AB$. $\Rightarrow MN \parallel AC$.Theo Định lí đường trung bình trong tam giác: $N$ là trung điểm của $AB$.c) Lấy điểm $Q$ sao cho $P$ là trung điểm của $MQ$. Chứng minh $AMCQ$ là một hình thoi1. Chứng minh $AMCQ$ là hình bình hành:Xét tứ giác $AMCQ$, ta có hai đường chéo $AC$ và $MQ$.$P$ là trung điểm của $AC$ (chứng minh ở câu b).$P$ là trung điểm của $MQ$ (gt).Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.Kết luận: $AMCQ$ là hình bình hành.2. Chứng minh $AMCQ$ là hình thoi:Hình bình hành $AMCQ$ là hình thoi nếu có hai cạnh kề bằng nhau (ví dụ $AM = MC$).$M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ của $\Delta ABC$ vuông tại $A$.Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có:$AM = \frac{1}{2} BC$Vì $M$ là trung điểm $BC$, ta có:$MC = \frac{1}{2} BC$Từ đó suy ra $AM = MC$.Kết luận: Hình bình hành $AMCQ$ có hai cạnh kề $AM = MC$ nên nó là hình thoi.d) Nếu $AB = AC$ ($\Delta ABC$ vuông cân tại $A$) thì $AMCQ$ có là hình vuông không? Vì sao?Câu trả lời: Có. Tứ giác $AMCQ$ sẽ là hình vuông.Giải thích:Một hình thoi là hình vuông nếu nó có một góc vuông (hoặc hai đường chéo bằng nhau).Xét góc của hình thoi:Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ ($AB=AC$) và $M$ là trung điểm $BC$, nên $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.$AM \perp BC$ tại $M$.Do đó, $\widehat{AMC} = 90^\circ$.Kết luận:$AMCQ$ là hình thoi (cmt).Hình thoi $AMCQ$ có $\widehat{AMC} = 90^\circ$.Vậy $AMCQ$ là hình vuông.