TVB đã có một số đay ý

Chúng ta sẽ lần lượt giải các câu hỏi. --- **Câu 1 (Phương trình dao động):** Phương trình dao động: \[ x = 5 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ cm} \] Tính li độ tại \( t = 1s \). Thay \( t = 1 \) vào: \[ x = 5 \cos\left(2\pi \cdot 1 + \frac{\pi}{6}\right) = 5 \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) \] Do \(\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha\), nên: \[ x = 5 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot 0.8660 = 4.33 \text{ cm} \] **Đáp số Câu 1:** \(x = 4.33 \, \text{cm}\). --- **Câu 2 (Tính thời gian từ động năng bằng 3 lần thế năng đến thế năng cực đại):** Đồ thị li độ - thời gian có dạng hình sin/cos, dao động điều hòa. Ta biết: - Tổng cơ năng \(W = W_{động} + W_{thế}\) - \(W_{động} = \frac{1}{2} m v^2\) - \(W_{thế} = \frac{1}{2} k x^2\) Cho \(W_{động} = 3 W_{thế}\) tức là: \[ W_{động} = 3 W_{thế} \Rightarrow \frac{1}{2} m v^2 = 3 \cdot \frac{1}{2} k x^2 \Rightarrow m v^2 = 3 k x^2 \] Nhưng vì dao động điều hòa: \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}, \quad k = m \omega^2 \] Thay vào: \[ m (\omega^2 (A^2 - x^2)) = 3 m \omega^2 x^2 \Rightarrow A^2 - x^2 = 3 x^2 \Rightarrow A^2 = 4 x^2 \Rightarrow x = \pm \frac{A}{2} \] Vậy tại vị trí \(x = \pm \frac{A}{2}\), động năng bằng 3 lần thế năng. --- Ta cần tìm thời gian ngắn nhất để vật chuyển từ vị trí \(x = \pm \frac{A}{2}\) đến vị trí thế năng cực đại (tức \(x = \pm A\)). Chu kỳ dao động: \(T\). Li độ dao động: \[ x = A \cos \omega t \] Giả sử tại thời điểm ban đầu \(t_0\), vật ở vị trí \(x = \frac{A}{2}\): \[ \frac{A}{2} = A \cos \omega t_0 \Rightarrow \cos \omega t_0 = \frac{1}{2} \Rightarrow \omega t_0 = \frac{\pi}{3} \] Vật đi tới vị trí thế năng cực đại \(x = A\), tức là: \[ x = A \Rightarrow \cos \omega t = \pm 1 \] Giá trị gần nhất lớn hơn \(\frac{\pi}{3}\) là \(\omega t = 0\) hoặc \(\omega t = \pi\). Vì vật đang ở vị trí giữa, thời gian ngắn nhất là từ \(\frac{\pi}{3}\) đến 0 hoặc đến \(\pi\). Chọn hướng đi đến \(x = A\) tức \(\omega t = 0\) (lùi về trước). Nhưng thời gian ngắn nhất dương là: \[ \Delta t = \frac{\pi}{3 \omega} \] Như vậy thời gian cần tìm: \[ \boxed{\Delta t = \frac{\pi}{3 \omega} = \frac{T}{6}} \] Nếu biết \(T\), ta tính được \(\Delta t\). --- **Câu 3 (Tính chiều dài quỹ đạo):** Chu kỳ: \[ T = \frac{\pi}{5} s \] Khi vật cách vị trí cân bằng 9 cm, tốc độ là 120 cm/s. Biết: \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \] Tần số góc: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \, \text{rad/s} \] Cho: \[ x = 9 \, cm, \quad v = 120 \, cm/s \] Tính biên độ \(A\): \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \Rightarrow 120 = 10 \sqrt{A^2 - 81} \Rightarrow \sqrt{A^2 - 81} = 12 \] \[ A^2 - 81 = 144 \Rightarrow A^2 = 225 \Rightarrow A = 15 \, cm \] Chiều dài quỹ đạo: \[ L = 4A = 4 \times 15 = 60 \, cm \] **Đáp số Câu 3:** Chiều dài quỹ đạo là 60 cm. --- **Câu 4 (Tính tần số góc từ gia tốc và vận tốc cực đại):** Cho: - Gia tốc cực đại: \(a_{\max} = 2\, m/s^2 = 200 \, cm/s^2\) - Vận tốc cực đại: \(v_{\max} = 100 \, cm/s\) Biết: \[ a_{\max} = \omega^2 A, \quad v_{\max} = \omega A \] Từ đó: \[ \omega = \frac{v_{\max}}{A} \Rightarrow A = \frac{v_{\max}}{\omega} \] Thay vào biểu thức gia tốc cực đại: \[ a_{\max} = \omega^2 A = \omega^2 \frac{v_{\max}}{\omega} = \omega v_{\max} \] Suy ra: \[ \omega = \frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{200}{100} = 2 \, rad/s \] **Đáp số Câu 4:** \(\omega = 2 \, rad/s\). --- **Phần tự luận:** **Câu 1 (Cơ năng con lắc lò xo):** Dữ liệu: - \(m = 2\, kg\) - \(k = 100\, N/m\) - Tại thời điểm \(v = 0.2\, m/s\), \(a = -\sqrt{3} \, m/s^2\). Gia tốc của dao động điều hòa: \[ a = -\omega^2 x \] Vận tốc: \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \] Tần số góc: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{2}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \, rad/s \] Từ gia tốc: \[ a = -\omega^2 x \Rightarrow -\sqrt{3} = - (7.07)^2 x \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{(7.07)^2} = \frac{1.732}{50} = 0.03464 \, m \] Từ vận tốc: \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \Rightarrow 0.2 = 7.07 \sqrt{A^2 - (0.03464)^2} \] \[ \sqrt{A^2 - 0.0012} = \frac{0.2}{7.07} = 0.0283 \Rightarrow A^2 - 0.0012 = 0.0008 \] \[ A^2 = 0.0012 + 0.0008 = 0.002 \] Cơ năng: \[ E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.002 = 0.1 \, J \] **Đáp số Câu 1:** Cơ năng \(E = 0.1\, J\). --- **Câu 2 (Tính khối lượng m):** Dữ liệu: - \(k = 200\, N/m\) - Li độ tại \(t\): \(x = 4\, cm = 0.04\, m\) - Sau \(t + \frac{T}{4}\), vận tốc \(v = 40\, cm/s = 0.4\, m/s\). Biết dao động điều hòa, li độ và vận tốc theo thời gian: \[ x = A \cos \omega t, \quad v = -\omega A \sin \omega t \] Sau thời gian \(\frac{T}{4}\), tức pha tăng thêm \(\frac{\pi}{2}\), ta có: \[ v(t + \frac{T}{4}) = -\omega A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = -\omega A \cos \omega t \] Nhưng lúc \(t\), \[ x = A \cos \omega t = 0.04 \] Vận tốc sau \(\frac{T}{4}\): \[ v = -\omega A \cos \omega t = -\omega \times 0.04 \] Bỏ dấu âm vì chỉ cần giá trị độ lớn: \[ |v| = \omega \times 0.04 = 0.4 \Rightarrow \omega = \frac{0.4}{0.04} = 10 \, rad/s \] Tần số góc: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10 \Rightarrow m = \frac{k}{\omega^2} = \frac{200}{10^2} = \frac{200}{100} = 2 \, kg \] **Đáp số Câu 2:** Khối lượng \(m = 2\, kg\). --- **Tóm tắt kết quả:** - Câu 1: \(x(1s) = 4.33\, cm\) - Câu 2: \(\Delta t = \frac{T}{6}\) (Thời gian ngắn nhất) - Câu 3: Chiều dài quỹ đạo \(L = 60\, cm\) - Câu 4: \(\omega = 2\, rad/s\) - Tự luận 1: Cơ năng \(E = 0.1\, J\) - Tự luận 2: Khối lượng \(m = 2\, kg\)