Giải hộ mình câu này với các bạn

Ví dụ 1: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính số đo góc \( \angle EMI \) và \( \angle EIF \): Vì \( ME \) và \( MF \) là hai tiếp tuyến của đường tròn tại \( E \) và \( F \), nên \( ME = MF \). Do đó, tam giác \( \triangle MEF \) là tam giác cân tại \( M \). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( \angle MEI = \angle MFI = 90^\circ \). Xét tứ giác \( MEIF \), ta có: \[ \angle MEI + \angle MFI + \angle EMI + \angle EIF = 360^\circ \] Vì \( \angle MEI = \angle MFI = 90^\circ \), nên: \[ 90^\circ + 90^\circ + \angle EMI + \angle EIF = 360^\circ \] \[ \angle EMI + \angle EIF = 180^\circ \] Vì tam giác \( \triangle MEF \) cân tại \( M \), nên \( \angle EMI = \angle EIF \). Do đó, \( \angle EMI = \angle EIF = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \). b) Tính độ dài \( MI \): Đề bài đã cho \( MI = 10 \, \text{cm} \). Vậy độ dài \( MI \) là 10 cm. c) Tính diện tích \( S_{\Delta MEF} \): Ta biết rằng \( ME = MF \) và \( ME = MF = \sqrt{MI^2 - IE^2} \). Vì \( MI = 10 \, \text{cm} \) và \( IE = IF = 8 \, \text{cm} \), nên: \[ ME = MF = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm} \] Diện tích tam giác \( \triangle MEF \) được tính bằng công thức: \[ S_{\Delta MEF} = \frac{1}{2} \times ME \times MF \times \sin(\angle EMF) \] Vì \( \angle EMF = 180^\circ - 2 \times 90^\circ = 0^\circ \), nên \( \sin(\angle EMF) = 1 \). Do đó: \[ S_{\Delta MEF} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times 1 = 18 \, \text{cm}^2 \] Vậy diện tích của tam giác \( \triangle MEF \) là \( 18 \, \text{cm}^2 \). Bài 1): Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Xét tam giác \( \triangle OMN \) và \( \triangle OMP \): - Vì \( MO \) là đường kính của đường tròn có tâm \( K \), nên \( \angle MNO = 90^\circ \) và \( \angle MPO = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, cả hai tam giác \( \triangle OMN \) và \( \triangle OMP \) đều là tam giác vuông tại \( N \) và \( P \) tương ứng. b) Chứng minh \( MN \) và \( MP \) là hai tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \): - Ta đã biết \( \angle MNO = 90^\circ \) và \( \angle MPO = 90^\circ \). - Điều này có nghĩa là \( ON \perp MN \) và \( OP \perp MP \). - Theo định nghĩa, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. - Do đó, \( MN \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( N \) và \( MP \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( P \). Vậy, \( MN \) và \( MP \) là hai tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \). Bài 2): Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O): - Gọi \( M \) là giao điểm của đường thẳng qua \( O \) vuông góc với \( CD \) và \( CD \). - Vì \( OK \) vuông góc với \( CD \) tại \( M \), nên \( OM \) là đường trung trực của \( CD \). - Do đó, \( OC = OD \) (vì \( O \) là tâm của đường tròn). - Ta có \( \angle OKC = 90^\circ \) (vì \( OK \) là tiếp tuyến tại \( C \)). - Xét tam giác \( OKD \), ta có \( \angle OKD = 90^\circ \) (vì \( OK \) vuông góc với \( CD \)). - Do đó, \( KD \) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại \( D \). b) Tính \( OK \) khi biết \( R = 20 \, \text{cm}, \, AB = 32 \, \text{cm} \): - Vì \( AB \) là dây của đường tròn và \( O \) là tâm, nên \( OA = OB = R = 20 \, \text{cm} \). - Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, \text{cm} \). - Trong tam giác vuông \( OMA \), áp dụng định lý Pythagore, ta có: \[ OM^2 + AM^2 = OA^2 \] \[ OM^2 + 16^2 = 20^2 \] \[ OM^2 + 256 = 400 \] \[ OM^2 = 144 \] \[ OM = 12 \, \text{cm} \] - Vì \( OK \) vuông góc với \( CD \) và đi qua \( O \), nên \( OK = OM = 12 \, \text{cm} \). Vậy, \( OK = 12 \, \text{cm} \). Bài 3): Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh: \(\Delta OAM = \Delta OBM\). - Ta có \(MA = MB\) (giả thiết). - \(OA = OB\) (vì A và B đều thuộc đường tròn (O), nên chúng là bán kính). - Góc \(\angle OAM = \angle OBM\) (vì MA và MB là tiếp tuyến và bán kính, nên \(\angle OAM\) và \(\angle OBM\) đều là góc vuông). Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\Delta OAM = \Delta OBM\). b) Chứng minh: MB là tiếp tuyến của (O). - Từ phần a), ta đã có \(\Delta OAM = \Delta OBM\), do đó \(\angle OMA = \angle OMB\). - Vì \(\angle OMA\) là góc vuông (do MA là tiếp tuyến), nên \(\angle OMB\) cũng là góc vuông. Do đó, MB vuông góc với OB tại B, nên MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B. Vậy, ta đã chứng minh được MB là tiếp tuyến của (O). Bài 4): Để chứng minh $OP // MK$ và $PO = PK$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét tam giác vuông và tính chất tiếp tuyến: - Gọi $OM$ và $ON$ là bán kính của đường tròn $(O)$, do đó $OM \perp MK$ và $ON \perp NK$ vì $MK$ và $NK$ là tiếp tuyến tại $M$ và $N$. - Do $OM = ON$ (bán kính của đường tròn), tam giác $OMK$ và $ONK$ là hai tam giác vuông cân tại $M$ và $N$. 2. Chứng minh $OP // MK$: - Từ $O$ kẻ tia vuông góc với $OM$, cắt $KN$ tại $P$. Do $OM \perp MK$, nên $OP \perp MK$. - Vì $OP \perp MK$ và $OM \perp MK$, nên $OP // MK$. 3. Chứng minh $PO = PK$: - Xét tam giác $OMK$ và $ONK$, ta có $OM = ON$ và $MK = NK$ (tính chất của tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn). - Do $OMK$ và $ONK$ là hai tam giác vuông cân, nên $OK$ là đường trung trực của $MN$. - Vì $P$ nằm trên $OK$, nên $P$ cách đều $M$ và $N$, tức là $PO = PK$. Vậy ta đã chứng minh được $OP // MK$ và $PO = PK$. Bài 5): Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn: Để chứng minh 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác AEDH là tứ giác nội tiếp. Điều này xảy ra khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ. Xét tam giác ABC, ta có: - BD là đường cao nên \( \angle BDA = 90^\circ \). - CE là đường cao nên \( \angle CEA = 90^\circ \). Trong tứ giác AEDH, ta có: - \( \angle EDA = \angle BDA = 90^\circ \). - \( \angle EHA = \angle CEA = 90^\circ \). Tổng hai góc đối diện của tứ giác AEDH là: \[ \angle EDA + \angle EHA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ. \] Vậy tứ giác AEDH là tứ giác nội tiếp, do đó 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn. Để xác định tâm I của đường tròn này, ta cần tìm giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng trong tứ giác AEDH. Tuy nhiên, trong trường hợp này, tâm I chính là trung điểm của đoạn thẳng AH, vì AH là đường kính của đường tròn nội tiếp tứ giác AEDH. b) Chứng minh AH vuông góc với BC: Để chứng minh AH vuông góc với BC, ta cần sử dụng tính chất của trực tâm trong tam giác. Trong tam giác ABC, H là trực tâm, do đó AH là đường cao của tam giác. Điều này có nghĩa là AH vuông góc với BC. Vậy, ta đã chứng minh được AH vuông góc với BC.