Giúp tôi được không

Câu 2: Đầu tiên, chúng ta cần tìm vận tốc của vật tại thời điểm t. Vận tốc v(t) là đạo hàm của quãng đường s(t) theo thời gian t. Cho s(t) = -\frac{1}{3}t + 6t. Tìm đạo hàm của s(t): \[ v(t) = s'(t) = -\frac{1}{3} + 6 = \frac{17}{3}. \] Như vậy, vận tốc của vật là hằng số và bằng \(\frac{17}{3}\) m/s. Do vận tốc là hằng số, nên trong khoảng thời gian 7 giây, vận tốc lớn nhất của vật vẫn là \(\frac{17}{3}\) m/s. Đáp số: Vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 7 giây là \(\frac{17}{3}\) m/s. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của hộp là lớn nhất. Bước 1: Xác định kích thước của hộp Khi cắt bốn hình vuông có cạnh \( x \) từ bốn góc của tấm nhôm, kích thước của đáy hộp sẽ là: - Chiều dài: \( 90 - 2x \) - Chiều rộng: \( 90 - 2x \) Chiều cao của hộp chính là cạnh của hình vuông bị cắt, tức là \( x \). Bước 2: Biểu thức thể tích của hộp Thể tích \( V \) của hộp hình hộp chữ nhật không có nắp được tính bằng: \[ V = (90 - 2x)(90 - 2x)x = x(90 - 2x)^2 \] Bước 3: Tìm điều kiện xác định Để các kích thước của hộp có nghĩa, ta cần: - \( 90 - 2x > 0 \) (chiều dài và chiều rộng dương) - \( x > 0 \) (chiều cao dương) Từ \( 90 - 2x > 0 \), ta có \( x < 45 \). Vậy điều kiện xác định là \( 0 < x < 45 \). Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích Ta cần tìm giá trị \( x \) để \( V = x(90 - 2x)^2 \) đạt giá trị lớn nhất. Tính đạo hàm của \( V \): \[ V = x(90 - 2x)^2 \] Đặt \( u = (90 - 2x)^2 \), ta có: \[ V = xu \] Sử dụng quy tắc đạo hàm tích: \[ V' = u' \cdot x + u \cdot x' \] Tính \( u' \): \[ u = (90 - 2x)^2 \Rightarrow u' = 2(90 - 2x)(-2) = -4(90 - 2x) \] Vậy: \[ V' = -4(90 - 2x)x + (90 - 2x)^2 \] Đặt \( V' = 0 \): \[ -4x(90 - 2x) + (90 - 2x)^2 = 0 \] \[ (90 - 2x)(-4x + 90 - 2x) = 0 \] \[ (90 - 2x)(90 - 6x) = 0 \] Giải phương trình: 1. \( 90 - 2x = 0 \Rightarrow x = 45 \) (loại vì không thỏa mãn điều kiện \( x < 45 \)) 2. \( 90 - 6x = 0 \Rightarrow x = 15 \) Bước 5: Kết luận Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi \( x = 15 \) cm. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của bể cá sao cho dung tích của nó là lớn nhất, với điều kiện diện tích kính sử dụng là $5,5~m^2$ và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng của bể cá là \( x \) (m), chiều dài là \( 2x \) (m), và chiều cao là \( h \) (m). Bước 1: Thiết lập phương trình diện tích Diện tích kính sử dụng cho bể cá không nắp là tổng diện tích của đáy và bốn mặt bên: - Diện tích đáy: \( 2x \times x = 2x^2 \) - Diện tích hai mặt bên dài: \( 2 \times (2x \times h) = 4xh \) - Diện tích hai mặt bên rộng: \( 2 \times (x \times h) = 2xh \) Tổng diện tích kính là: \[ 2x^2 + 4xh + 2xh = 2x^2 + 6xh \] Theo đề bài, diện tích kính là \( 5,5 \, m^2 \), do đó: \[ 2x^2 + 6xh = 5,5 \] Bước 2: Biểu diễn chiều cao \( h \) theo \( x \) Từ phương trình trên, ta có: \[ 6xh = 5,5 - 2x^2 \] \[ h = \frac{5,5 - 2x^2}{6x} \] Bước 3: Biểu diễn thể tích \( V \) theo \( x \) Thể tích của bể cá là: \[ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} = 2x \times x \times h = 2x^2h \] Thay \( h \) từ phương trình trên vào: \[ V = 2x^2 \times \frac{5,5 - 2x^2}{6x} = \frac{2x(5,5 - 2x^2)}{6} \] \[ V = \frac{11x - 4x^3}{6} \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của \( V \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( V \) là: \[ V' = \frac{d}{dx}\left(\frac{11x - 4x^3}{6}\right) = \frac{11 - 12x^2}{6} \] Giải phương trình \( V' = 0 \): \[ 11 - 12x^2 = 0 \] \[ 12x^2 = 11 \] \[ x^2 = \frac{11}{12} \] \[ x = \sqrt{\frac{11}{12}} \] Bước 5: Tính thể tích lớn nhất Thay \( x = \sqrt{\frac{11}{12}} \) vào biểu thức của \( V \): \[ V = \frac{11\sqrt{\frac{11}{12}} - 4\left(\sqrt{\frac{11}{12}}\right)^3}{6} \] Tính toán cụ thể: \[ x = \sqrt{\frac{11}{12}} \approx 0.957 \] \[ h = \frac{5,5 - 2\left(\sqrt{\frac{11}{12}}\right)^2}{6\sqrt{\frac{11}{12}}} \] Thể tích lớn nhất \( V \) là: \[ V \approx 1.17 \, m^3 \] Vậy, dung tích lớn nhất của bể cá là \( 1,17 \, m^3 \). Bài 1: Để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x - 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = -x^2 + 4x - 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) Giải phương trình: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Bước 3: Xác định dấu của \( y' \) trên các khoảng Chúng ta sẽ xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( (-\infty, 1) \), \( (1, 3) \), và \( (3, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, 1) \). - Trên khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trên khoảng \( (1, 3) \). - Trên khoảng \( (3, +\infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ y'(4) = -(4)^2 + 4(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trên khoảng \( (3, +\infty) \). Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, 3) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (3, +\infty) \). Bước 5: Tìm các điểm cực đại và cực tiểu - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 + 2(1)^2 - 3(1) - 1 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 - 1 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3} \] Vì \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 1 \), nên \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) - 1 = -9 + 18 - 9 - 1 = -1 \] Vì \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 3 \), nên \( x = 3 \) là điểm cực đại. Kết luận - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, 3) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (3, +\infty) \). - Điểm cực tiểu của hàm số là \( \left(1, -\frac{7}{3}\right) \). - Điểm cực đại của hàm số là \( (3, -1) \). Bài 2: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = x^4 - 4x^2 + 3 \) trên đoạn \([0; 2]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^4 - 4x^2 + 3 \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2 + 3) = 4x^3 - 8x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn trong khoảng \((0, 2)\). \[ 4x^3 - 8x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \] \[ 4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0 \] Do đó, các nghiệm của phương trình là: \[ x = 0, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} \] Trong khoảng \([0; 2]\), các điểm tới hạn là: \[ x = 0, \quad x = \sqrt{2} \] Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([0; 2]\). - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 3 = 3 \] - Tại \( x = \sqrt{2} \): \[ y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^4 - 4 \cdot 2^2 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để tìm GTLN và GTNN. - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 2]\) là \( 3 \), đạt được tại \( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 2]\) là \( -1 \), đạt được tại \( x = \sqrt{2} \). Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là \( 3 \), đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -1 \), đạt được khi \( x = \sqrt{2} \). Bài 3: Hàm chi phí đã cho là \( C(x) = x^3 - 3x^2 - 20x + 500 \). Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí theo biến \( x \). Ta sẽ tính đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 20x + 500) \] Ta tính từng hạng tử: - Đạo hàm của \( x^3 \) là \( 3x^2 \) - Đạo hàm của \( -3x^2 \) là \( -6x \) - Đạo hàm của \( -20x \) là \( -20 \) - Đạo hàm của hằng số \( 500 \) là \( 0 \) Do đó, đạo hàm của \( C(x) \) là: \[ C'(x) = 3x^2 - 6x - 20 \] Tiếp theo, ta tính chi phí biên khi \( x = 14 \): \[ C'(14) = 3(14)^2 - 6(14) - 20 \] \[ C'(14) = 3 \cdot 196 - 6 \cdot 14 - 20 \] \[ C'(14) = 588 - 84 - 20 \] \[ C'(14) = 484 \] Vậy chi phí biên của hộ làm nghề khi dệt được 14 mét thảm mỗi ngày là 484 nghìn đồng.