giúp mình trl câu hỏi đi ạ

Câu 3: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( f(x) \), ta dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Từ bảng xét dấu: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((- \infty, -1)\) và \((2, +\infty)\), nghĩa là hàm số đồng biến trên các khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((-1, 0)\) và \((0, 2)\), nghĩa là hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Do đó, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên các khoảng \((-1, 0)\) và \((0, 2)\). Với bài toán yêu cầu tìm khoảng nghịch biến \((a; b)\), ta có thể chọn một trong hai khoảng nghịch biến đã xác định. Chọn khoảng \((0, 2)\). Vậy \( a = 0 \) và \( b = 2 \). Giá trị của biểu thức \( a + b = 0 + 2 = 2 \). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều cao \( x \) của hộp để thể tích lớn nhất. 1. Xác định kích thước của hộp: - Khi cắt bốn hình vuông cạnh \( x \) ở bốn góc, kích thước đáy của hộp sẽ là: - Chiều dài: \( 40 - 2x \) - Chiều rộng: \( 25 - 2x \) 2. Biểu thức thể tích của hộp: - Thể tích \( V \) của hộp là: \[ V = x(40 - 2x)(25 - 2x) \] 3. Tìm điều kiện xác định: - Để các kích thước có nghĩa, ta cần: \[ 40 - 2x > 0 \quad \text{và} \quad 25 - 2x > 0 \] - Giải các bất phương trình: \[ x < 20 \quad \text{và} \quad x < 12.5 \] - Vậy, \( 0 < x < 12.5 \). 4. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: - Ta cần tìm giá trị \( x \) để \( V \) đạt giá trị lớn nhất. Để làm điều này, ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và tìm nghiệm của phương trình \( V'(x) = 0 \). - Đạo hàm: \[ V = x(40 - 2x)(25 - 2x) = 1000x - 130x^2 + 4x^3 \] \[ V'(x) = 1000 - 260x + 12x^2 \] - Giải phương trình \( V'(x) = 0 \): \[ 12x^2 - 260x + 1000 = 0 \] - Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với \( a = 12 \), \( b = -260 \), \( c = 1000 \). - Tính toán: \[ x = \frac{260 \pm \sqrt{(-260)^2 - 4 \times 12 \times 1000}}{24} \] \[ x = \frac{260 \pm \sqrt{67600 - 48000}}{24} \] \[ x = \frac{260 \pm \sqrt{19600}}{24} \] \[ x = \frac{260 \pm 140}{24} \] - Nghiệm: \[ x_1 = \frac{400}{24} = \frac{50}{3} \approx 16.67 \quad (\text{loại do không thỏa mãn điều kiện}) \] \[ x_2 = \frac{120}{24} = 5 \] 5. Kết luận: - Chiều cao của hộp để thể tích lớn nhất là \( x = 5 \) cm. Câu 5: Để tìm chi phí trung bình sản xuất cho mỗi sản phẩm khi số lượng sản phẩm \( x \) tăng lên đủ lớn, chúng ta cần tính giới hạn của \( \overline{C}(x) \) khi \( x \to \infty \). Bước 1: Xác định công thức chi phí trung bình: \[ \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{\frac{6x^3 - 2x^2 + 15x + 1}{2x^2 + 5}}{x} = \frac{6x^3 - 2x^2 + 15x + 1}{x(2x^2 + 5)} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ \overline{C}(x) = \frac{6x^3 - 2x^2 + 15x + 1}{2x^3 + 5x} \] Bước 3: Chia cả tử số và mẫu số cho \( x^3 \): \[ \overline{C}(x) = \frac{6 - \frac{2}{x} + \frac{15}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^2}} \] Bước 4: Tính giới hạn khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \overline{C}(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} + \frac{15}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^2}} \] Khi \( x \to \infty \), các hạng tử chứa \( \frac{1}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \), và \( \frac{1}{x^3} \) sẽ tiến về 0: \[ \lim_{x \to \infty} \overline{C}(x) = \frac{6 - 0 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{6}{2} = 3 \] Vậy, khi số lượng sản phẩm \( x \) tăng lên đủ lớn, chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là 3 triệu đồng. Câu 6: Để tìm đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi từ A đến bờ sông và mang nước về B, ta có thể sử dụng phương pháp phản xạ. Bước 1: Phản xạ điểm B qua bờ sông Giả sử điểm B' là điểm đối xứng của B qua bờ sông. Khoảng cách từ B đến bờ sông là 125m, do đó khoảng cách từ B' đến bờ sông cũng là 125m. Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến B' Để tìm đoạn đường ngắn nhất, ta cần tìm đường thẳng nối từ A đến B' (đi qua bờ sông). Đoạn đường này sẽ là đường thẳng vì đường thẳng là đường ngắn nhất nối hai điểm. - Khoảng cách từ A đến B' có thể được tính bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông AEB', với: - \( AE = 55m \) (khoảng cách từ A đến bờ sông) - \( EB' = 250m + 125m = 375m \) (khoảng cách từ E đến B') Áp dụng định lý Pythagore: \[ AB' = \sqrt{AE^2 + EB'^2} = \sqrt{55^2 + 375^2} \] \[ AB' = \sqrt{3025 + 140625} = \sqrt{143650} \] \[ AB' \approx 379m \] Kết luận Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là khoảng 379 mét.