Cho tam giác ABC. Vẽ đường cao từ A, B, C. Chứng minh rằng trực tâm H, trọng tâm G, và trung điểm đường cao từ A thẳng hàng.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng trực tâm $ H $, trọng tâm $ G $, và trung điểm của đường cao từ $ A $ thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm đặc biệt trong tam giác:
   - Gọi $ D $, $ E $, $ F $ lần lượt là chân đường cao từ $ A $, $ B $, $ C $ của tam giác $ ABC $.
   - Trực tâm $ H $ là giao điểm của ba đường cao $ AD $, $ BE $, $ CF $.
   - Trọng tâm $ G $ là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác $ ABC $.

2. Xác định trung điểm của đường cao từ $ A $:
   - Gọi $ M $ là trung điểm của đoạn $ AD $.

3. Chứng minh rằng $ H $, $ G $, và $ M $ thẳng hàng:
   - Theo định lý Euler, trong một tam giác, trực tâm $ H $, trọng tâm $ G $, và tâm đường tròn ngoại tiếp $ O $ thẳng hàng trên đường thẳng gọi là đường thẳng Euler.
   - Đường thẳng Euler đi qua trực tâm $ H $, trọng tâm $ G $, và tâm đường tròn ngoại tiếp $ O $ của tam giác.
   - Trung điểm $ M $ của đường cao $ AD $ nằm trên đường thẳng Euler vì đường thẳng này cũng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp.

4. Kết luận:
   - Do đó, trực tâm $ H $, trọng tâm $ G $, và trung điểm $ M $ của đường cao từ $ A $ thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng trực tâm $ H $, trọng tâm $ G $, và trung điểm của đường cao từ $ A $ thẳng hàng.