Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm AB, AC. Vẽ đường tròn qua M, N, A. Chứng minh rằng đường tròn này đi qua trung điểm BC.

Để chứng minh rằng đường tròn đi qua M, N, A cũng đi qua trung điểm của BC, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trung điểm của BC: Gọi trung điểm của BC là P. Theo định nghĩa, P là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho BP = PC. 2. Tính chất của trung điểm: Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên ta có: - AM = MB - AN = NC 3. Chứng minh P nằm trên đường tròn: Ta cần chứng minh rằng P cũng nằm trên đường tròn đi qua M, N, A. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác AMNP là tứ giác nội tiếp. 4. Chứng minh tứ giác AMNP là tứ giác nội tiếp: - Xét tam giác ABC, vì M và N là trung điểm của AB và AC, nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MN song song với BC và MN = $\frac{1}{2}$BC. - Vì P là trung điểm của BC, nên MP = NP (do MN = $\frac{1}{2}$BC và MN song song với BC). - Từ đó, ta có AM = MB, AN = NC và MP = NP. 5. Kết luận: Tứ giác AMNP có AM = MB, AN = NC và MP = NP, do đó AMNP là tứ giác cân tại M và N. Điều này chứng tỏ rằng P nằm trên đường tròn đi qua M, N, A. Vậy, đường tròn đi qua M, N, A cũng đi qua trung điểm của BC.