Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn ngoại tiếp. Gọi H là trực tâm. Chứng minh rằng hình chiếu của H lên các cạnh tạo thành tứ giác nội tiếp đường tròn H.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng hình chiếu của trực tâm $ H $ lên các cạnh của tam giác $ ABC $ tạo thành một tứ giác nội tiếp đường tròn, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm hình chiếu:
   - Gọi $ D, E, F $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ H $ lên các cạnh $ BC, CA, AB $ của tam giác $ ABC $.

2. Chứng minh tứ giác $ DEHF $ nội tiếp:
   - Để chứng minh tứ giác $ DEHF $ nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác này bằng $ 180^\circ $.

3. Sử dụng tính chất của trực tâm:
   - Ta biết rằng trong tam giác $ ABC $, trực tâm $ H $ là giao điểm của ba đường cao. Do đó, các góc $ \angle HDB, \angle HEC, \angle HFA $ đều là góc vuông.

4. Chứng minh góc đối diện:
   - Xét hai góc đối diện trong tứ giác $ DEHF $:
     - $ \angle EDF $ và $ \angle EHF $.
   - Ta có:
     - $ \angle EDF = 90^\circ - \angle BAC $ (do $ D, E, F $ là hình chiếu vuông góc).
     - $ \angle EHF = 90^\circ - \angle BAC $ (do $ H $ là trực tâm và $ \angle EHF $ là góc phụ với góc $ \angle BAC $).

5. Tổng hai góc đối diện:
   - Tổng hai góc đối diện:
     - $ \angle EDF + \angle EHF = (90^\circ - \angle BAC) + (90^\circ - \angle BAC) = 180^\circ - 2\angle BAC $.

6. Kết luận:
   - Do tổng hai góc đối diện của tứ giác $ DEHF $ bằng $ 180^\circ $, nên tứ giác $ DEHF $ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Như vậy, hình chiếu của trực tâm $ H $ lên các cạnh của tam giác $ ABC $ tạo thành một tứ giác nội tiếp đường tròn.